Journal d'un Terrien
Web log de Serge Boisse
On line depuis 1992 !
http://sboisse.free.fr/science/maths/enigmes/Les trois portes (Monty Hall problem).php
Auteur : Serge Boisse
Les trois portes (Monty Hall problem)
cf https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
Le jeu des trois portes est en fait très similaire à Les enveloppes.
- Soient trois portes, l'une cache une voiture, les deux autres une chèvre. Les prix sont répartis par tirage au sort.
- Le présentateur connaît la répartition des prix.
- Le joueur choisit une des portes, mais ne l'ouvre pas. On suppose qu'il choisit au hasard
- Le présentateur ouvre une autre porte ne révélant pas la voiture (donc révélant une chèvre) :
- Si le joueur choisit une porte à chèvre, le présentateur ouvrira la seule autre porte à chèvre.
- Si le joueur choisit la porte à voiture, le présentateur ouvrira au hasard une des deux portes à chèvre (éventuellement préalablement désignée par tirage au sort). Mais il se peut que le présentateur ait une autre stratégie comme "ouvrir la porte de la chèvre de plus petit numéro". Dans ce cas les probabilités sont différentes !
- Le présentateur propose au candidat de changer son choix de porte à ouvrir définitivement.
La question qui se pose alors est :
- Le joueur augmente-t-il ses chances de gagner la voiture en changeant son choix initial ? C'est-à-dire : la probabilité de gagner en changeant de porte est plus grande que la probabilité de gagner sans changer de porte ?
Le joueur a une probabilité 1/3 d'avoir choisi la voiture s'il ne change pas, mais de 2/3 s'il change.
Par exemple si le joueur a choisi initialement la porte 1 :
et
trois enveloppes
On peut remplacer les trois portes par des enveloppes, et la voiture et les chèvres par trois montants
le joueur choisit une enveloppe, mais juste après l'animateur (qui sait quel montant est dans quelle enveloppe) ouvre une enveloppe différente de celle choisie par le joueur et lui en révèle le montant. Le joueur doit il changer ? Théoriquement oui, ses chances de succès passent de 1/3 à 2/3 ( voir l'analyse sur wikipedia)
En particulier, si
Encore que... tout dépend de comment l'animateur choisit l'enveloppe à ouvrir : ce peut être "une des deux restantes au hasard" ou "celle restante de plus gros montant", ou 'de plus petit", ou "celle de plus petit numéro non choisie..."
Mais la similarité des deux jeux (avec 2 et 3 enveloppes) pose une nouvelle question très intrigante :
peut-on faire encore mieux que 2/3 ?
En particulier peut-on introduire un élément de hasard dans le choix du joueur ?
variantes
plus de 3 portes
Avec
Même si l'animateur ouvre une seule porte (
#bizarre #TBC
.
A l'autre extrême, si l'animateur ouvre toutes les portes restantes sauf une (
mais on pourrait alors tricher...
Avec
Dans ma tête
Supposons que je me retrouve seul (sans l'animateur) devant les trois portes, et que j'ai le droit d'ouvrir successivement deux portes. Je peux alors me dire, dans ma tête : "Au premier coup je choisirai au hasard. Mais au deuxième coup, si ce n'est pas la voiture, je choisirai la porte 2".
Je lance une pièce à trois faces :-), et je choisis la porte 1, mais je ne l'ouvre pas et j'ouvre au contraire la porte 2, derrière laquelle je découvre une chèvre. Dois-je alors rester sur ma décision première et ouvrir la porte 1, ou changer et ouvrir ensuite la porte 3 ?
Pas d'animateur mais plus d'un joueur.
On se trouve dans une situation similaire aux jeu Les 100 prisonniers(lien privé) avec
Par exemple avec deux joueurs, supposons que les trois portes cachent une voiture, les clefs de la voiture, et une chèvre. Les deux joueurs n'ont pas le droit de parler entre eux et chacun ignore ce que fait l'autre. Chacun peut ouvrir successivement deux portes. Ils gagnent s'ils ont trouvé la voiture et les clefs, mais tout les deux perdent dans tous les autres cas.
On pourrait penser que les chances de gagner tous les deux sont de
Pourtant, ils peuvent assurer 2/3 de chances de succès ! cf Les 100 prisonniers > Petits nombres(lien privé)
Avec de l'argent.
Au lieu de deux chèvres et une voiture; les trois portes pourraient cacher trois sommes d'argent
Notons que si
Mais si les trois sommes sont relativement proches, et que le joueur le sait, on est dans un situation proche du jeu de Les enveloppes (sauf qu'il y a trois envelopes)
Le but du joueur pourrait être de gagner la plus grosse somme, c'est à dire
La stratégie du joueur peut donc être très différente selon qu'il possède ou pas certaines informations sur ces trois montants. Par exemple il pourrait savoir quelle est la plus grosse somme, ou bien que l'une des trois est beaucoup plus grosse que les deux autres, etc.
De plus, plusieurs variantes de jeu sont possibles :
JEU 1
- le joueur choisit une des trois portes et l'indique à l'animateur.
- l'animateur ouvre la porte choisie par le joueur et dévoile la somme qui s'y trouve.
- l'animateur offre au joueur la possibilité de garder ce montant, ou bien de choisir une des deux autres portes. Dans le premier cas, le jeu est terminé. Dans le second, le joueur gagne uniquement le montant situé derrière la porte qu'il aura choisi en dernier.
JEU 2
- le joueur choisit une des trois portes et l'indique à l'animateur.
- l'animateur ouvre une autre porte et dévoile la somme qui s'y trouve.
- l'animateur offre alors au joueur trois possibilités :
- soit de rester sur son choix initial,
- ou bien de garder le montant qui vient d'être dévoilé,
- ou bien de choisir la troisième porte.
NB dans ce jeu, pour éviter toute ambiguïté, il il faut préciser comment l'animateur choisit la porte qu'il ouvre parmi les deux possibles. Ce peut être :
- au hasard
- celle de plus petit montant
- celle de plus grand montant
- celle la plus à gauche = de plus petit numéro, (resp. de plus grand).
Il y a donc quatre variantes du jeu 2. On supposera que, lorsqu'on répète le jeu un grand nombre de fois, l'animateur choisit toujours systématiquement de la même façon.
JEU 3
- le joueur choisit une des trois portes et l'indique à l'animateur.
- l'animateur ouvre les deux autres portes et dévoile les sommes qui s'y trouvent.
- l'animateur offre au joueur la possibilité de rester sur son choix initial, ou bien de garder le montant le plus grand des deux portes qu'il vient d'ouvrir.
JEU 4
- le joueur choisit une des trois portes et l'indique à l'animateur.
- l'animateur ouvre les deux autres portes et dévoile les sommes qui s'y trouvent.
- l'animateur offre au joueur la possibilité de rester sur son choix initial, ou bien de garder le montant le plus petit des deux portes qu'il vient d'ouvrir.
Commentaires (0) :
Page :Ajouter un commentaire (pas besoin de s'enregistrer)
En cliquant sur le bouton "Envoyer" vous acceptez les conditions suivantes : Ne pas poster de message injurieux, obscène ou contraire à la loi, ni de liens vers de tels sites. Respecter la "netiquette", ne pas usurper le pseudo d'une autre personne, respecter les posts faits par les autres. L'auteur du site se réserve le droit de supprimer un ou plusieurs posts à tout moment. Merci !Ah oui : le bbcode et le html genre <br>, <a href=...>, <b>b etc. ne fonctionnent pas dans les commentaires. C'est voulu.