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Composition fractionnaire de fonctions mathématiques

Je vous propose ici une extension nouvelle de la composition de fonctions mathématiques (traditionnellement notée o). Si on note f<2>(x) = f(f(x)) = f o f (x), f<3> = f o f o f ,etc., alors on va définir ici des choses comme f<1/2> ou f<2/3>, un  sujet d'étude qui, je crois, est entièrement nouveau !

On s'intéresse ici à des fonctions continues d'un domaine D sur le même domaine, par exemple d'un intervalle réel sur lui même. Par exemple si trois fonctions f,g,h de D-->D sont telles que
    g<2> = g o g = f et
    h<3> = h o h o h = f,
alors on a g<2> = h<3> et on peut poser par convention g = h<3/2>
De même si f o f = g alors on peut poser par convention f = g<1/2>
Plus généralement si f<p> = g alors par définition f = g<1/p>
Par exemple il est facile de vérifier que (x4+2x2+2)<1/2> = x2+1

On a ainsi un moyen de composer "fractionnellement" des fonctions, ou de définir des puissances fractionnaires de composition. Naturellement lorsque "l'exposant" entre crochets <> est entier, on a la composition de fonction classique avec ses propriétés usuelles, telles que l'associativité et le fait que  f<-1>(f(x)) = identité. La notation f<-1> me semble bien meilleure que le f-1 des américains (sans crochets), qui est détestable à cause de la confusion possible avec 1/f. Ainsi on pourrait remplacer les discutables arc sin et arg sinh par sin<-1> et sinh<-1> sans risque d'erreur.

Bien que l'on ait x2<2> = (x2)2 = x4, c'est le seul cas où f2 = f<2>.  Ainsi (x2+1)<2> =  x4+2x2+2 alors que (x2+1)2 = x4+2x2+1

Exemple (tiré d'une thèse de Feliks Burdecki, datant de 1926 !)
soit f(x) = sqrt(ax2+c)
il est facile de voir que f<2>(x) = sqrt(a2x2+c(a+1)) et que par conséquent pour p entier positif
f<p>(x) = sqrt(apx2+c/(1-a)*(1-ap))
d'où l'on tire notamment que si 0<a<1 alors lorsque p-->+∞ la limite f<p>(x) vaut sqrt(c/(1-a))
il se trouve que cette formule pour f<p>(x) est aussi valable pour les p fractionnaires !
par exemple si g(x) = f<1/2>(x) = sqrt(a1/2x2+c/(1-a)*(1+a1/2)), alors g(g(x)) = f(x)

Autre exemple : soit l'application "logistique" bien connue f(x) = 4x(1-x),  de l'intervalle [0,1] vers lui-même.
En posant x = sin2(y) , on a f(x) = f(sin2(y)) = (2sin(y)cos(y))2 = sin2(2y)
et plus généralement, pour p entier positif, f<p>(sin2(y)) = sin2(2py)
mais cela ne marche pas  si p n'est pas entier...

D'une manière générale, trouver f<1/2> connaissant f est un problème assez difficile, trouver f<1/3> ou f<1/p> est encore plus ardu !

La composition fractionnaire de fonctions pose des problèmes nouveaux. Par exemple on aimerait bien que, pour toute fonction f composable avec elle-même,  f<22/7> soit "proche" de  f<355/113> parce que 22/7 et 355/113 sont les réduites successives de π en fraction continue. Peux-t-on définir cette proximité, et cette conjecture est-elle vraie ?

Autre conjecture :
lorsque p --> +∞, et pour toute fonction continue f de D sur D, lim f<1/p> = identité ?

Enfin, peut-on définir des choses comme f<π> ou f<i>? Je serais intéressé par une expression de sin<π> ou e<i>!

Tous ces problèmes sont ouverts. Mathématiciens, à vous de jouer !

Dernière minute :
je suis tombé sur un intéressant article de wiképédia, iterated function (en anglais). Il apparaît que l'idée d'itération fractionnaire n'est pas nouvelle et qu'elle est reliée à la notion mathématique de flot.

Par ailleurs plusieurs personnes ont cherché une solution f à f(f(x)) = (ex-1). On peut trouver un résumé de ces recherches ici.  Il apparaît que la solution n'est pas unique, mais que si l'on s'intéresse aux x réels positifs,  alors elle a une croissance plus rapide que tout polynôme tout en étant moins rapide que toute exponentielle. C'est donc une nouvelle classe de complexité (ou croissance). C'est intéressant.

Je me suis toujours demandé si l'on ne peut pas faire un parallèle entre les les classes de croissance de fonctions et les ordinaux.  Par exemple si les polynômes P sont associés à l'ordinal P(ω), et si exp est associé à l'ordinal ωω, qu'y a-t-il entre deux ? Cette question me fascine.

(page écrite le 22 juillet 2012)


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