Auteur: Serge Boisse
Date: Le 26/03/2023 à 11:03
Type: web/MOC
Tags: maths,analyse,fonctions,composition,dérivée
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Composition fractionnaire de fonctions mathématiques

Je vous propose ici une extension nouvelle de la composition de fonctions mathématiques (traditionnellement notée $\circ$). Si on note
$f^{<2>}(x)=f(f(x))=f\circ f(x)$, et $f^{<3>}=f\circ f\circ f$ ,etc., alors on va définir ici des choses comme $f^{<1/2>}$ ou $f^{<2/3>}$, un  sujet d'étude qui, je crois, est entièrement nouveau !

On s'intéresse ici à des fonctions continues et au moins surjectives d'un domaine D sur un sous-ensemble ou une extension de D, par exemple d'un intervalle réel sur lui même. Par exemple si trois fonctions f, g, h sont (avec les bons domaines de définition, que je ne détaillerai pas ici) telles que :

$$g^{<2>}=g\circ g=f$$ et
$$h^{<3>}=h\circ h\circ h=f$$

alors on a $g^{<2>}=h^{<3>}$ et on peut poser par convention 
$$g=h^{<3/2>}$$De même si $f\circ f=g$ alors on peut poser par convention $f=g^{<1/2>}$
Plus généralement si $f^{<p>}=g$ alors par définition $f=g^{<1/p>}$

Par exemple il est facile de vérifier que $(x^4+2x^2+2{)}^{<1/2>}=x^2+1$

On a ainsi un moyen de composer "fractionnellement" des fonctions, ou de définir des puissances fractionnaires de composition. Naturellement lorsque "l'exposant" entre crochets $<>$ est entier, on a la composition de fonction classique avec ses propriétés usuelles, telles que l'associativité et le fait que  $f^{<-1>}(f(x))=f^{<0>}=$ identité

notations

La notation $f^{<-1>}$ me semble bien meilleure que le $f^{-1}$  des américains (sans crochets), qui est détestable à cause de la confusion possible avec 1/f. Ainsi on pourrait remplacer les discutables$\arcsin$ et $\mathrm{argsinh}$ par ${\sin }^{<-1>}$ et ${\sinh }^{<-1>}$ sans risque d'erreur.

Il est également possible d'utiliser la notation alternative $f^{\circ n}$ au lieu de $f^{<n>}$ Ainsi ${f^{\circ (1/2)}}^{\circ 2}=f$

exemples

Bien que l'on ait ${x^2}^{<2>}=(x^2{)}^2=x^4$, c'est le seul cas où $f^2=f^{<2>}$. 
Ainsi $(x^2+1{)}^{<2>}=x^4+2x^2+2$ alors que $(x^2+1{)}^2=x^4+2x^2+1$

Exemple (tiré d'une thèse de Feliks Burdecki, datant de 1926 !) :
Soit $f(x)=\sqrt{a{x}^2+c}$
il est facile de voir que $f^{<2>}(x)=\sqrt{a^2{x}^2+c(a+1)}$ et que par conséquent pour p entier positif,
$f^{<p>}(x)=\sqrt{a^p{x}^2+c/(1-a)\ast (1-a^p)}$
d'où l'on tire notamment que si $0<a<1$ alors lorsque $p\to \mathrm{\infty }$ la limite $f^{<p>}(x)$ vaut $\sqrt{c/(1-a)}$

il se trouve que cette formule pour $f^{<p>}(x)$ est aussi valable pour les $p$ fractionnaires !
par exemple si $g(x)=f^{<1/2>}(x)=\sqrt{a^{1/2}{x}^2+c/(1-a)\ast (1+a^{1/2})}$, alors $g(g(x))=f(x)$

Autre exemple : soit l'application "logistique" bien connue $f(x)=4x(1-x)$,  de l'intervalle [0,1] vers lui-même.
En posant $x={\sin }^2(y)$ , on a $f(x)=f({\sin }^2(y))=(2\sin (y)\cos (y){)}^2=si{n}^2(2y)$
et plus généralement, pour p entier positif, $f^{<p>}({\sin }^2(y))={\sin }^2(2py)$
mais cela ne marche pas  si p n'est pas entier...

problèmes

D'une manière générale, trouver $f^{<1/2>}$ connaissant $f$ est un problème assez difficile, trouver $f^{<1/3>}$ ou $f^{<1/p>}$ est encore plus ardu !

La composition fractionnaire de fonctions pose des problèmes nouveaux. Par exemple on aimerait bien que, pour toute fonction $f$ composable avec elle-même,  $f^{<22/7>}$ soit "proche" de  $f^{<355/113>}$ parce que $22/7$ et $355/113$ sont des réduites successives de $\pi$ en fraction continue. Peux-t-on définir cette proximité, et cette conjecture est-elle vraie ?

Autre conjecture :
lorsque $p\to \mathrm{\infty }$, et pour toute fonction continue $f$ de D sur D, $lim{f}^{<1/p>}=identité$ ?

Enfin, peut-on définir des choses comme $f^{<\pi >}$ ou $f^{<i>}$ ? (Une composition imaginaire de fonctions !) Je serais intéressé par une expression de ${\sin }^{<\pi >}$ ou $e^{<i>}$ !

Tous ces problèmes sont ouverts. Mathématiciens, à vous de jouer !

Dernière minute :

Je suis tombé sur un intéressant article de wiképédia, iterated function (en anglais). Il apparaît que l'idée d'itération fractionnaire n'est pas nouvelle (Zut, moi qui croyais l'avoir inventé...) et qu'elle est reliée à la notion mathématique de flot.

Par ailleurs plusieurs personnes ont cherché une solution $f$ à $f(f(x))=\exp (x)$. On peut trouver un résumé de ces recherches ici.  Il apparaît que la solution n'est pas unique, mais que si l'on s'intéresse aux x réels positifs,  alors elle a une croissance plus rapide que tout polynôme tout en étant moins rapide que toute exponentielle. C'est donc une nouvelle classe de complexité (ou croissance). C'est intéressant.

Je me suis toujours demandé si l'on ne peut pas faire un parallèle entre les les classes de croissance de fonctions et les ordinaux.  Par exemple si les polynômes P sont associés à l'ordinal P(ω), et si exp est associé à l'ordinal ${\omega }^{\omega }$, qu'y a-t-il entre deux ? Cette question me fascine.

Exploration plus en détail

Etant donné une fonction bijective d'une partie D de ℝ ou ℂ dans elle-même, et un entier $n$, on notera $f^{on}(x)$ la composée de f par elle même.

Par exemple $f^{o2}(x)=f(f(x))$, et $f^{o-1}(x)$ est la réciproque de $f$, généralement notée abusivement (mais pas dans ce texte) $f^{-1}(x)$.😒

Ne pas confondre $f^{o2}(x)$, la composée de $f$ par elle-même, et $f^2(x)$, le carré de $f(x)$. Ainsi, $f^{o{2}^2}(x)$ est le carré de la composée, et $f^{2^{o2}}(x)$ est la composée du carré.

On a bien sûr : $f^{on}(f^{om}(x))=f^{o(n+m)}(x)$

On va explorer ici le cas où $n$ n'est pas entier. Dans ce qui suit $r$ sera donc un réel.

Exemple : l'application logistique

C'est un exemple très connu. Soit la fonction de [0..1] dans [0..1] définie par :
$$L(x)=4x(1-x)$$

En posant $x={\sin }^2(y)$, on obtient

et donc

et

La surprise est que cela marche aussi pour k non entier !

Ainsi

Mais, du fait que Cette application a un maximum en $x_0=si{n}^2(\frac{\pi }{2\sqrt{2}})$ ≃ 0.802..., $L^{ok}(L^{ok}(x))$ n'est pas égal à $L(x)$ si $x>x_0$ :

dérivée fractionnaire (1)

cf Fractional Derivative (vidéo Youtube)

Dans cette vidéo on définit la dérivée fractionnaire comme l'inverse de l'intégrale fractionnaire, elle-même définie à partir de la relation de Cauchy pour les intégrales multiples, en considérant l'intégrale comme une transformée que l'on appellera $I$ :
si on pose $If(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ alors

$a$ étant un paramètre qu'on choisit (non localité) on on devrait écrire $I_a^{n}f(x)=\dots$
et donc pour n réel positif,

pour n > 0
Et donc on définira

(à nouveau on devrait écrire $D_a^{n}f(x)=\dots$)

Ce qui permet de définir un opérateur intégro-différentiel (differintegral operator) $J^{n}f$, qui vaut $D^{n}f\text{ si }n>0$, $f\text{ si }n=0$, et $I^{-n}f\text{ si }n<0$

On a les propriétés suivantes :

attention la "chain rule" et la "product rule" ne marchent plus...

Dérivées fractionnelles (2)

On peut être tenté de tracer le graphe des itérés successifs d'un réél $x_0$ de départ, c'est à dire tracer le graphe d'une fonction $g(x_0,x)$ telle que $g(x_o,x)=f^{ox}(x_0)$

Cela conduit à se demander s'il peut exister une fonction $f$ telle que , pour un $x_0$ donné, et pour tout $ϵ$ positif, $f(x_0+ϵ)=f^{o(ϵ+1)}(x_0)$

Par exemple si $ϵ=1$, on a $f(x_0+1)=f(f(x_0))$, et bien sûr si $ϵ=0$, on retrouve $f(x_0)=f(x_0)$

Supposons qu'il existe une telle fonction telle que cela soit vrai pour $x_0$ quelconque, alors