Ah les maths ! Il me semble que je baigne la dedans depuis que je suis tout petit. Et depuis, je ne cesse de me poser des questions !
Comme presque tous les "matheux", j'ai une philosophie réaliste : je crois que les maths existent, et ont toujours existé, et que nous ne faisons que les découvrir.

Pourtant je suis conscient que ce point de vue est parfois difficilement tenable : ainsi l'idée selon laquelle il devrait exister des nombres "naturels" se heurte à la difficile définition de ce que c'est un nombre naturel ; la formalisation (nécessaire ?), la construction très artificielle (à mon avis) en nombres entiers, rationnels, réels, complexes, etc, introduit des pièges redoutables et même parfois des paradoxes.

Il en va de même pour la théorie des ensembles, pourtant le pilier des maths contemporaines, à tel point qu'il n'existe aucun consensus actuellement sur ce que sont les "vrais" ensembles. De même, ça vous surprendra peut-être mais il n'existe pas une définition unique des nombre entiers en termes d'ensembles ! L'axiomatisation est une solution qui porte en germe ses propres problèmes : ainsi si l'on accepte l'axiome du choix, on peut prouver que l'ensemble des nombres réels doit posséder un "bon ordre", c'est à dire un ordre tel que toute partie de l'ensemble possède un plus petit élément. Or la relation d'ordre naturelle "<" n'est pas un tel "bon ordre" (par exemple l'intervalle ouvert ]0, 1] ne possède pas de plus petit élément). Personne n'a jamais pu trouver un tel bon ordre... et on doute qu'il existe en fait !

Mais il y a pire : La notion de "vérité" devrait être la clé de toutes les mathématiques : on devrait pouvoir établir qu'une proposition est vraie ou fausse. Or Gödel a montré que toute théorie axiomatique incluant (au moins) l'arithmétique élémentaire, et qui se veut non contradictoire est nécessairement incomplète, c'est à dire qu'il existera des formules vraies qu'on ne pourra pas démontrer dans la théorie. Bigre !

Je crois que nous sommes victimes de blocages mentaux inconscients, et que pour surpasser tous ces problèmes il faut réellement remettre à plat toutes nos certitudes,  conscientes et inconscientes. Dans ce chapitre, vous verrez certaines tentatives que je fais en ce sens. Soyez indulgent, ce n'est pas un travail facile ! Mais c'est en même temps (j'espère) très amusant. Alors ... entrez, le jeu en vaut la chandelle !