Journal d'un Terrien
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Maths
Ah les maths ! Il me semble que je baigne la dedans depuis que je suis tout petit. Et depuis, je ne cesse de me poser des questions !
Comme presque tous les "matheux", j'ai une philosophie réaliste : je crois que les maths existent, et ont toujours existé, et que nous ne faisons que les découvrir.
Pourtant je suis conscient que ce point de vue est parfois difficilement tenable : ainsi l'idée selon laquelle il devrait exister des nombres "naturels" se heurte à la difficile définition de ce que c'est un nombre naturel ; la formalisation (nécessaire ?), la construction très artificielle (à mon avis) en nombres entiers, rationnels, réels, complexes, etc, introduit des pièges redoutables et même parfois des paradoxes.
Il en va de même pour la théorie des ensembles, pourtant le pilier des maths contemporaines, à tel point qu'il n'existe aucun consensus actuellement sur ce que sont les "vrais" ensembles. De même, ça vous surprendra peut-être mais il n'existe pas une définition unique des nombre entiers en termes d'ensembles ! L'axiomatisation est une solution qui porte en germe ses propres problèmes : ainsi si l'on accepte l'axiome du choix, on peut prouver que l'ensemble des nombres réels doit posséder un "bon ordre", c'est à dire un ordre tel que toute partie de l'ensemble possède un plus petit élément. Or la relation d'ordre naturelle "<" n'est pas un tel "bon ordre" (par exemple l'intervalle ouvert ]0, 1] ne possède pas de plus petit élément). Personne n'a jamais pu trouver un tel bon ordre... et on doute qu'il existe en fait !
Mais il y a pire : La notion de "vérité" devrait être la clé de toutes les mathématiques : on devrait pouvoir établir qu'une proposition est vraie ou fausse. Or Gödel a montré que toute théorie axiomatique incluant (au moins) l'arithmétique élémentaire, et qui se veut non contradictoire est nécessairement incomplète, c'est à dire qu'il existera des formules vraies qu'on ne pourra pas démontrer dans la théorie. Bigre !
Je crois que nous sommes victimes de blocages mentaux inconscients, et que pour surpasser tous ces problèmes il faut réellement remettre à plat toutes nos certitudes, conscientes et inconscientes. Dans ce chapitre, vous verrez certaines tentatives que je fais en ce sens. Soyez indulgent, ce n'est pas un travail facile ! Mais c'est en même temps (j'espère) très amusant. Alors ... entrez, le jeu en vaut la chandelle !
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Commentaires (7) :
Page : [1]Le 19/01/2023 à 03h11
Le 14/03/2018 à 20h24
En réalité, il impossible d'exhiber un Bon Ordre sur |R avec les Axiomes de ZF, puisque la proposition que la puissance du continu ne soit pas bien ordonnable est cohérent avec l'Axiome du Choix (AC)! 😊 En revanche rien n'empêche la découverte d'une Axiomatique plus forte qui implique l'existence d'un tel Bon Ordre; seulement elle contredira alors AC! 😉
Je suis platonicien comme vous, mais au sens de Balaguer: toute Théorie Axiomatique Cohérente est aussi réelle qu'une autre de par sa Cohérence-même... Même si certaines modélisent a priori mieux que d'autres à la Réalité Physique, lorsque leurs Axiomes sont "intuitivement vrais", "collent" à cette Réalité...
Le 18/05/2016 à 16h45
Le 13/05/2013 à 18h24
Je n'ai jamais compris ce que cherchais Cantor et encore moins ce qu'il a trouvé.
Si l'infini actuel existe dans le segment ]0,1] , tous les nombres se touchent, on a obtenu le continu, on ne peut plus rajouter de nombres, et comment nommer un tel ensemble sinon un ensemble fini.
Si on pouvait lister ces nombres qui forment le continu, la diagonale de Cantor qui n'a pas lu la théorie trouverait des nombres qui n'appartiennent pas à cet ensemble, où les placer ?
un nombre n'a pas d'épaisseur sur le segment, si deux nombres se touchent, il s'agit d'un seul et même nombre.
Il y a forcément un bon ordre, un nombre fut-il transcendant peut être encadré par deux décimaux aussi proche que l'on veut et ces nombres sont dans l'ordre, et on peut trouver une infinité de décimaux entre deux transcendants.
Si le continu est l'infini, les autres ensembles sont des sous-ensembles plus petits mais à quoi servent les alephs.
Un point est de dimension zéro, multiplié par l'infini, l'espace entre deux points diminue mais ne devient jamais nul.
On peut multiplier zéro par l'infini autant de fois que l'on veut, cela ne change rien.
à+
fred
rollandfrederic480@neuf.fr
Le 24/09/2011 à 22h59
Le 25/01/2011 à 19h51
Au regard de tes autres posts sur ce site, je dirais que celui-là ne mérite pas qu'on s'y attarde...
Le 23/01/2011 à 23h31
Va nettoyer tes chiottes et arrête de recopier tes livres
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