Auteur: Serge Boisse
Date: Le 26/03/2023 à 14:03
Type: web/MOC
Tags: maths,nombres
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Les conjectures de la théorie des nombres

Une conjecture, c'est une proposition qui est probablement vraie, mais que personne n'a jusqu'à maintenant réussi à prouver. Si on la prouve, elle deviendra un théorème.

Les mathématiciens ont dans leur stock un nombre innombrables de conjectures. Certaines sont devenues célèbres : la conjecture de Fermat, comme quoi l'équation entière $x^n+y^n=z^n$ n'a pas de solutions pour n> 2, a résisté trois cent ans avant d'être prouvée par Andrew Wiles.

D'autres attendent depuis plus d'un siècle leur solution : la conjecture de Goldbach et  la L'hypothèse de Riemann par exemple.

Certaines sont extrêmement importantes, et leur solution ferait avancer considérablement les mathématiques : la conjecture de Riemann précitée, et la conjecture P-NP par exemple.

D'autres ont été prouvées "improuvables" ou plus précisément indécidables, c'est à dire que dans le cadre du système formel (appelé ZF) de la théorie des ensembles, on peut démontrer qu'il ne sera jamais possible d'en trouver une preuve à ces conjectures, ni une preuve de leur opposé. La plus célèbre conjecture indécidable est probablement l'hypothèse du continu, qui affirme qu'il n'y a pas d'ensemble dont la puissance (le nombre d'éléments, si on veut simplifier) soit comprise entre le dénombrable et le continu.

J'ai essayé de résoudre certaines d'entre elles, en partant de l'idée suivante : si ces conjectures ont résisté si longtemps, c'est que leur solution nécessite une approche complètement différente. J'ai essayé également de tester la difficulté de certaines conjectures, dont la conjecture de syracuse, en cherchant des variantes plus générales et en voyant si on pouvait les résoudre.

L'exploration des conjectures prend du temps, mais c'est vraiment intéressant !

> La suite : la conjecture de syracuse