Auteur : Serge Boisse

Résumé : un jeu Télévisé auquel on peut gagner si on s'y prend bien !
Remarque : très similaire à Les trois portes (Monty Hall problem)

voir l'article de Delahaye incroyables curiosités mathématiques (Fichier sur D)(lien privé) et sur mon site : Faire le bon choix dans un environnement inconnu : stratégies probabilistes (page web)

On va analyser une petite variante : Je sais qu'une enveloppe contient la somme mais j'ignore le montant de l'autre ; Cependant j'ai une idée sur la distribution de probabilité de et je sais que .

Si l'on préfère, j'ai le choix entre une stratégie qui rapportera certainement et une autre qui rapportera un montant inconnu sur lequel toutefois je sais qu'elle a exactement une chance sur deux de rapporter plus (mais je ne sais pas combien)

Soit et . On a donc et

A priori,  peut être inférieur à , ou être compris entre  et , ou bien être supérieur à .

Soit les probabilité respectives de ces trois possibilités.
Elles sont exclusives, donc et de plus par définition de l'algorithme.

Comme on ne sait pas lequel des deux nombres  ou  est le plus petit, il y a six cas possibles :

Au final, la probabilité de gagner est égal à la somme des probabilités des quatre cas gagnants, soit . Et comme , elle est supérieure à 1/2.

Le programme ci-dessous simule 100000 répétitions du même jeu.

Il doit maximiser , c'est à dire la probabilité d'être entre le min et le max de

Dans le cas cité par Delahaye, on tire un nombre uniformément dans puis on pose , c'est à dire .
Donc y est compris entre et si et seulement si est compris entre et et donc

dans ce cas la probabilité d'avoir fait le bon choix est 1.
Et si n'est pas dans cet intervalle cette probabilité est . (Voir le tableau ci -dessus). Donc au final la probabilité de gain est

Par exemple avec et , 54,05%

L'espérance de gain est :

Peut-on faire mieux ?

Oui, si l'on sait d'autres choses sur la distribution de .

Supposons que l'on sache que sera compris entre deux valeurs extrêmes et avec bien sûr , il suffit de tirer un nombre uniformément entre ces deux valeurs et de choisir si . Et on peut faire encore mieux si l'on connait la distribution de probabilité de

Par exemple si l'on sait que , c'est à dire si j'ai le choix entre une stratégie "tranquille" qui me fera gagner avec certitude, et une stratégie "risquée" qui pourrait me faire gagner , mais aussi me faire perdre ; comment choisir ?

Réponse : on prend ! C'est à dire que si la valeur que je connais est positive, je la garde, sinon je change.... résultat 75% de succès !

Eh oui, pour déterminer la probabilité de gain, on fait appel à deux expériences "emboîtées": L'algo fonctionne en fait ainsi :

procédure "init" :

procédure "choix" :

Ce qui nous intéresse en effet c'est le pourcentage de réussite. L'expérience montre qu'il est assez souvent du type "tout ou rien", ou approchant, c'est à dire que parfois on a un très bon pourcentage, et parfois un très mauvais...

Mais... En réalité ce pourcentage dépend de et puisque on ne change pas ces valeurs entre chaque titrage de . Donc, on va emboiter la procédure "choix" dans une procédure "parente" :
procédure détermination du score final"

Il suffit généralement de prendre y =... constante !

Et si ?

Et s'il y a 3 enveloppes ? ou ?

Il y a un lien évident avec Les trois portes (Monty Hall problem) > trois enveloppes

On peut remplacer les trois portes par des enveloppes, et la voiture et les chèvres par trois montants placés "au hasard" dans les enveloppes c'est à dire que la probabilité d'avoir , (resp. ou ) cans l'enveloppe n°1 est 1/3, et idem pour les deux autres .

La différence, c'est que si le joueur ne connait pas les montants des enveloppes, il ne sait pas différencier la chèvre et la voiture...
#TBC

Maths