La logique modale ajoute deux symboles et aux propositions de la logique classique. La signification de ces deux symboles diffère selon les règles qu'on applique ensuite pour les manipuler.

En logique modale épistémique, la plus connue des logiques modales, signifie "je sais que p" et signifie "p est compatible avec mes connaissances". Il est possible de restreindre ces symboles avec une variable. Par exemple signifie "Serge sait que 1+1=2"

Par ailleurs, dans cette logique épistémique, nous avons les règles :
et nous admettrons que
(si je sais que je sais p, alors je sais p)

et bien sûr, puisque je suis un bon logicien,

Ici on ne s'intéresse qu'aux fonctions continues et dérivables donc on n'utilisera pas min, max comme dans la logique floue usuelle.

si 0="Faux", 1="vrai" :

NON :
ET :
OU :

On peut aussi définir le XOR ("ni 00 ni 11") par :

ou

Notons que cette logique n'est pas idempotente : x ET x est différent de x dans le cas flou général. (pour résoudre ce problème : cf. Logique_pondérée)

Enfin,
Et

Si on pose -1 = "faux" et 1 = "vrai" , 0 signifie "indéterminé". Les valeur logiques sont alors :

NON :
ET :
OU :
:
Egalité :

Dans la logique floue, les propositions on un certain degré de vérité que nous appellerons leur valeur de vérité.

Si nous introduisons en plus un degré de "croyance", ou de "solidité" de notre conviction qu'une proposition a bien une certaine valeur de vérité, alors nous devons distinguer la valeur logique et la valeur de vérité, et poser

Nos fonctions logiques NON, ET, OU portent alors sur les valeurs logiques, alors que les fonctions portent sur les valeurs de vérité.

ne signifie pas que la valeur logique est indéterminée, mais que nous ne croyons pas, ou n'avons pas confiance, en la valeur de vérité (inconnue) qu'elle pourrait avoir. C'est la base d'une logique modale floue.

On conviendra de noter (P) la valeur de vérité d'une proposition P. Cette valeur de vérité sera un nombre réel dans ou selon la convention choisie.

On notera la proposition " a la valeur de vérité ". Cette dernière proposition a bien sûr elle aussi une valeur de vérité , mais nous poserons, pour éviter des régression infinies :
et d'une manière générale :

De même

L'expression , qui ne doit pas être confondue avec les expressions ci-dessus, signifie "P n'a pas la valeur de vérité x", mais il est impossible de lui assigner directement une valeur numérique. En logique modale, elle pourrait correspondre à

En outre signifiera "je crois avec la solidité (ou la force de conviction) que est la valeur de vérité de p", avec bien sûr ,

Notons que ces notations n'impliquent pas que l'on prenne dans ; en fait, il est plus simple de choisir des valeurs de vérité dans car alors
la valeur logique vaut alors comme nous l'avons vu.

Mais on peut dire aussi que signifie "je sais que la vérité d'une certaine proposition est , ce que nous pouvons aussi noter . Si nous introduisons une incertitude dans ce savoir, ou à l'inverse un degré de conviction , nous pouvons parler de , ou plus simplement de , et, en utilisant nos notations précédentes,

De même,

#TBC

De même, si j'ai une conviction que P est vraie, alors

mais si j'ai la conviction que P est fausse alors

Mais si la valeur de vérité de est elle-même floue, alors

Que signifie alors ?
cette expression signifie que ne suis pas du tout convaincu que la valeur de vérité de soit . On pourrait donc dire

A suivre ! #TBC