Journal d'un terrien

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La persistance multiplicative des nombres.

Écrivons un nombre en base 10, disons 243. Multiplions ses chiffres : 2x4x3 = 24. Recommençons : 2x4=8.  En deux étapes, nous arrivons à un nombre inférieur à 10. On dit que la persistance multiplicative en base 10 de 243 est 2.  Celle de 39, par exemple, est 3 parce qu'on a 39 -> 27 -> 14 ->4. (on arrive à un seul chiffre en en trois étapes, donc)
Le plus petit nombre de persistance 0 est évidemment 0, celui de persistance 1 est 10. En fait la table ci-dessous donne les plus petits nombres ayant une persistance donnée:
0 0
1 10
2 25
3 39
4 77
5 679
6 6788
7 68889
8 2677889
9 26888999
10 3778888999
11 277777788888899 
Et après ? Et bien c'est là que ça se corse ; après... On ne sait pas ! Il existe une conjecture qui dit que tout nombre, quelque soit sa taille, a une persistance inférieure ou égale à 11. Mais personne n'a jamais pu le prouver...

En 1981, avec un ordinateur TRS-80, j'ai prouvé que tous les nombres inférieurs à 1050vérifient cette hypothèse (cela a pris environ une semaine de calculs à l'ordinateur, aujourd'hui c'est l'affaire de quelques minutes). Plus tard, j'ai appris que N. Sloane avait déja prouvé cela en 1977. Chapeau !) En fait il n'est pas bien difficile de se rendre compte que les nombres "records" (ceux du tableau ci-dessus) ont une structure particulière, dès que l'on cherche des records de persistance > 3 :
Ces contraintes permettent facilement de "filtrer" les nombres "admissibles" par un programme qui cherche des records de persistance.  On peut laisser le programme calculer pendant des années, probablement sans rien trouver, mais cela ne vaut pas une démonstration... Si vous écrivez un tel programme, dites-moi jusqu'à quelle valeur vous avez testé la persistance des nombres ! Et si vous avez trouvé une démonstration de la conjecture, dites-le moi bien sûr !

Si ce sujet vous intéresse, vous trouvrez ici un article plus complet (en PDF) sur la persistance multiplicative des nombres et sur d'autres sujets connexes.

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Commentaires (8) :

Page : [1] 

Fredrick
Le 28/07/2016 à 08h54 		Bonjour,

Le gros problème est que dès qu'il y a un 0 dans un nombre la persistance multiplicative tombe à 1.

Et lorsqu'on fait des recherches avec des nombres ayant plusieurs centaines de chiffres, la probabilité de trouver un 0 dans ce nombre est énorme. Idem dans le nombre obtenu en multipliant ses chiffres.

Donc plus on recherche de grand nombre, moins on a de chance d'avoir une grande persistance multiplicative.
Fredrick
Le 27/07/2016 à 16h50 		Bonjour,

Le gros problème est que dès qu'il y a un 0 dans un nombre la persistance multiplicative tombe à 1.

Et lorsqu'on fait des recherches avec des nombres ayant plusieurs centaines de chiffres, la probabilité de trouver un 0 dans ce nombre est énorme. Idem dans le nombre obtenu en multipliant ses chiffres.

Donc plus on recherche de grand nombre, moins on a de chance d'avoir une grande persistance multiplicative.
S.Yas.
Le 26/07/2016 à 22h03 		@lopito12<br />rnOui en effet, je l'ai testé aussi avec plusieurs nombres mais cela n'a pas abouti à un nombre qui respecte les règles citées dans cet article. Du coup, il faut la prendre avec des pincettes.<br />rnN'empêche, cette méthode pourrait ouvrir d'autres voies de réflexion quant au problème. En tout cas, big up!
S.Yas.
Le 26/07/2016 à 16h46 		@lopito12<br />rnOui en effet, je l'ai testé aussi avec plusieurs nombres mais cela n'a pas abouti à un nombre qui respecte les règles citées dans cet article. Du coup, il faut la prendre avec des pincettes.<br />rnN'empêche, cette méthode pourrait ouvrir d'autres voies de réflexion quant au problème. En tout cas, big up!
lopito12
Le 26/07/2016 à 14h19 		La méthode de David François n'est pas bête mais il y a un problème si l'on prend le nombre 277777788888899 qui à une persistance multiplicative de 11 (la plus grande connue) et qu'on le décompose en facteurs premiers cela donne :

13 x 59 x 1699 x 213 161 503



On peut donc fabriquer le nombre : 13 591 699 213 161 503

qui comporte un 0 et qui a donc une persistance multiplicative de 1 ...
S.Yas.
Le 26/07/2016 à 07h29 		@David François

Bonjour à vous. J'ai lu attentivement votre proposition et je l'ai trouvé intéressante. Cependant, ceci ne pourrait marcher avec tout nombre.

Si vous le permettez, je prendrai votre exemple: 227 est un nombre premier. De ce fait, sa décomposition ne nous mènerait pas plus loin que là



227=227*1.



Quitte à mettre le chiffre 1 (Dans notre cas 2271) à la fin de tout nombre premier que l'on aurait trouvé avec votre démarche, la persistance multiplicative du nombre obtenu serait égale à celle du nombre de départ (c'est à dire ici 3).



Mais c'est une piste fort intéressante, si d'aventure on ne rencontre pas de nombre premier.



Mes sincères salutations.





David FRANCOIS
Le 25/07/2016 à 19h56 		La solution semble pourtant triviale, sinon je n'ai pas compris le problème.



Soit X un nombre entier de persistance multiplicative n. A partir de la décomposition en produit de facteurs premiers de X, je peux proposer un nombre Y de persistance multiplicative égale à n+1.



Exemple illustratif : 28 a une persistance multiplicative égale à 2.

(2 x 8 = 16 ; 1 x 6 = 6)



A partir de 28, je peux facilement fabriquer un nombre de persistance multiplicative égale à 2+1 (égale à 3 quoi).



Comme 28 = 2² x 7 = 2 x 2 x 7 (décomposition en facteurs premiers), il me suffit de m'intéresser au nombre 227.



2 x 2 x 7 = 28 ; 2 x 8 = 16 ; 1 x 6 = 6, donc 227 est bien de persistance multiplicative égale à 3, soit un de plus que la persistance multiplicative de 28.



Il n'y a donc aucune valeur limite pour la persistance multiplicative.&#65279;
mescanefeux
Le 20/01/2013 à 12h20 		ça me fait penser aux recherches sur les nombres premiers : http://www.youtube.com/watch?v=FSo16cx5Aqo



pourquoi ne pas en faire une représentation graphique ?

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