Journal d'un Terrien
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La persistance multiplicative des nombres.
Écrivons un nombre en base 10, disons
Recommençons :
En deux étapes, nous arrivons à un nombre inférieur à 10. On dit que la persistance de
La persistance (multiplicative) d'un nombre, c'est le nombre d'étapes qu'il faut pour le réduire à un seul chiffre décimal en multipliant entre eux à chaque étape les chiffres qui le composent en base 10
Celle de
Le plus petit nombre de persistance 0 est évidemment 0, celui de persistance 1 est 10. En fait la table ci-dessous donne les plus petits nombres ayant une persistance donnée:
| Persistancep | plus petit nombre de persistance p |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 10 |
| 2 | 25 |
| 3 | 39 |
| 4 | 77 |
| 5 | 679 |
| 6 | 6788 |
| 7 | 68889 |
| 8 | 2677889 |
| 9 | 26888999 |
| 10 | 3778888999 |
| 11 | 277777788888899 |
Et après ? Et bien c'est là que ça se corse ; après... On ne sait pas ! Il existe une conjecture qui dit que tout nombre, quelque soit sa taille, a une persistance inférieure ou égale à 11. Mais personne n'a jamais pu le prouver...
En 1981, avec un ordinateur TRS-80, j'ai prouvé que tous les nombres inférieurs à
- Ils ne contiennent pas de 0, ni de 1
- tous leurs chiffres sont dans un ordre croissant de gauche à droite
- s'ils contiennent un 5 il est unique et de plus il n'y a aucun chiffre pair (25 excepté)
- S'ils contiennent un chiffre pair ils ne contiennent pas de 5
- s'il contiennent un 2 il est unique et de plus dans ce cas il n'y a pas de 3 ni de 4 (ni de 5 of course)
- S'il y a un 3 il est unique
Ces contraintes permettent facilement de "filtrer" les nombres "admissibles" par un programme qui cherche des records de persistance. On peut laisser le programme calculer pendant des années, probablement sans rien trouver, mais cela ne vaut pas une démonstration... Si vous écrivez un tel programme, dites-moi jusqu'à quelle valeur vous avez testé la persistance des nombres ! Et si vous avez trouvé une démonstration de la conjecture, dites-le moi bien sûr !
Si ce sujet vous intéresse, vous trouvrez ici un article plus complet (en PDF) sur la persistance multiplicative des nombres et sur d'autres sujets connexes.
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