La persistance multiplicative des nombres.
Écrivons un nombre en base 10, disons 243. Multiplions ses chiffres : 2x4x3 = 24. Recommençons : 2x4=8. En deux étapes, nous arrivons à un nombre inférieur à 10. On dit que la persistance multiplicative en base 10 de 243 est 2. Celle de 39, par exemple, est 3 parce qu'on a 39 -> 27 -> 14 ->4. (on arrive à un seul chiffre en en trois étapes, donc)Le plus petit nombre de persistance 0 est évidemment 0, celui de persistance 1 est 10. En fait la table ci-dessous donne les plus petits nombres ayant une persistance donnée:
0 | 0 |
1 | 10 |
2 | 25 |
3 | 39 |
4 | 77 |
5 | 679 |
6 | 6788 |
7 | 68889 |
8 | 2677889 |
9 | 26888999 |
10 | 3778888999 |
11 | 277777788888899 |
En 1981, avec un ordinateur TRS-80, j'ai prouvé que tous les nombres inférieurs à 1050vérifient cette hypothèse (cela a pris environ une semaine de calculs à l'ordinateur, aujourd'hui c'est l'affaire de quelques minutes). Plus tard, j'ai appris que N. Sloane avait déja prouvé cela en 1977. Chapeau !) En fait il n'est pas bien difficile de se rendre compte que les nombres "records" (ceux du tableau ci-dessus) ont une structure particulière, dès que l'on cherche des records de persistance > 3 :
- Ils ne contiennent pas de 0, ni de 1
- tous leurs chiffres sont dans un ordre croissant de gauche à droite
- s'ils contiennent un 5 il est unique et de plus il n'y a aucun chiffre pair (25 excepté)
- S'ils contiennent un chiffre pair ils ne contiennent pas de 5
- s'il contiennent un 2 il est unique et de plus dans ce cas il n'y a pas de 3 ni de 4 (ni de 5 of course)
- S'il y a un 3 il est unique
Si ce sujet vous intéresse, vous trouvrez ici un article plus complet (en PDF) sur la persistance multiplicative des nombres et sur d'autres sujets connexes.
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