Journal d'un Terrien
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http://sboisse.free.fr/science/maths/persistance.php
La persistance multiplicative des nombres.
Écrivons un nombre en base 10, disons
Recommençons :
En deux étapes, nous arrivons à un nombre inférieur à 10. On dit que la persistance de
La persistance (multiplicative) d'un nombre, c'est le nombre d'étapes qu'il faut pour le réduire à un seul chiffre décimal en multipliant entre eux à chaque étape les chiffres qui le composent en base 10
Celle de
Le plus petit nombre de persistance 0 est évidemment 0, celui de persistance 1 est 10. En fait la table ci-dessous donne les plus petits nombres ayant une persistance donnée:
| Persistancep | plus petit nombre de persistance p |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 10 |
| 2 | 25 |
| 3 | 39 |
| 4 | 77 |
| 5 | 679 |
| 6 | 6788 |
| 7 | 68889 |
| 8 | 2677889 |
| 9 | 26888999 |
| 10 | 3778888999 |
| 11 | 277777788888899 |
Et après ? Et bien c'est là que ça se corse ; après... On ne sait pas ! Il existe une conjecture qui dit que tout nombre, quelque soit sa taille, a une persistance inférieure ou égale à 11. Mais personne n'a jamais pu le prouver...
En 1981, avec un ordinateur TRS-80, j'ai prouvé que tous les nombres inférieurs à
- Ils ne contiennent pas de 0, ni de 1
- tous leurs chiffres sont dans un ordre croissant de gauche à droite
- s'ils contiennent un 5 il est unique et de plus il n'y a aucun chiffre pair (25 excepté)
- S'ils contiennent un chiffre pair ils ne contiennent pas de 5
- s'il contiennent un 2 il est unique et de plus dans ce cas il n'y a pas de 3 ni de 4 (ni de 5 of course)
- S'il y a un 3 il est unique
Ces contraintes permettent facilement de "filtrer" les nombres "admissibles" par un programme qui cherche des records de persistance. On peut laisser le programme calculer pendant des années, probablement sans rien trouver, mais cela ne vaut pas une démonstration... Si vous écrivez un tel programme, dites-moi jusqu'à quelle valeur vous avez testé la persistance des nombres ! Et si vous avez trouvé une démonstration de la conjecture, dites-le moi bien sûr !
Si ce sujet vous intéresse, vous trouvrez ici un article plus complet (en PDF) sur la persistance multiplicative des nombres et sur d'autres sujets connexes.
Commentaires (20) :
Page : [1] 2Le 12/06/2019 à 17h59
rien de plus facile :
11111111111111111177
Le 20/05/2019 à 20h01
Le 29/09/2017 à 16h22
Le 26/09/2017 à 10h18
pE( (2)6834594(3)2661292(5)8181026(7)5214775 ) = 25
Mais pour chaque couple 2 et 5, en faisant le produit des chiffre, ça va ajouter un 0 à droite: on ne change pas la persistance à la Erdos en levant les couples 2 et 5.
8181026-6834594=1346432, ainsi
pE( (3)2661292(5)1346432(7)5214775 ) = 25
C'est déjà un plus petit nombre (de 9.2 millions de chiffres...)
Le 24/09/2017 à 01h58
library(gmp)
pE = function(x)
{
if(x<10) {return(0);}
else {return(1+pE(prod(lapply(strsplit(gsub("0","",as.character(x)),""),as.bigz)[[1]])));}
}
ym=0;for(i in 1:100) {x=(paste0(sample(strsplit("1234567890","")[[1]],100000,replace=T),collapse=""));y=pE(x);if(y>ym) {ym=y;cat(ym,as.character(x),"n")}}
j=floor(runif(4,0,10000000));x=as.bigz(2)^j[1]*as.bigz(3)^j[2]*as.bigz(5)^j[3]*as.bigz(7)^j[4];cat(pE(x),j)
Le 24/09/2017 à 01h53
library(gmp)
Je ne l'ai lancé qu'une fois et sur 100 nombres pris ainsi totalement au hasard ça ma donné une persistance à la Erdos de 21 (nombre trop long pour être accepté par ce forum; je laisse les curieux copier le code sous R pour avoir de tels nombres) alors que l'article de Pour la Science se demandait si avec beaucoup d'astuce on pouvait faire mieux que 17! Il n'y a qu'à se baisser pour ramasser: c'est une bonne illustration que quand on enlève la contrainte des 0 la persistance est illimitée
Sous vos yeux ébahis n'est-ce pas :) voici également le premier nombre (de ce que j'ai lu) connu de persistance 25 à la Erdos:
pE( (2)6834594(3)2661292(5)8181026(7)5214775 ) = 25
Comment a-t-il été obtenu? ... au hasard! Plus précisément un produit de chiffres x=2^a*3^b*5^c*7^d (où a,b,c,d sont tirés au hasard) a été pris au hasard:
j=floor(runif(4,0,10000000));x=as.bigz(2)^j[1]*as.bigz(3)^j[2]*as.bigz(5)^j[3]*as.bigz(7)^j[4];cat(pE(x),j,"n")
Résultat: 24 6834594 2661292 8181026 5214775
Bingo. Peut-être qu'en faisant 100 tirages au hasard on tombe sur une persistance à la Erdos de 30. Nb: rien que pour un nombre ça a tourné pendant une bonne dizaine vu la taille à manipuler.
* * *
Ainsi, du fait des produits par 0 la persistance multiplicative est limitée... à 11 (ce qui est observé pour les nombre entre 1 et 10^1000)? ou 12 ou 13, ou plus, jsais pas Msieur.
Le 23/09/2017 à 23h32
1) j'ai repris les liens lus pour voir d'où est venue l'idée du 0 bloquant couplé au 2^i*3^j*5^k*7^k*9^l: 1a) du Pour La Science qui justement s'ouvre en cliquant sur le lien "ici" en haut de page, posté par @Serge Boissé 1b) de la remarque de @Frederik ci-dessous. 1c) d'une autre super page
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_341.htm
2) En reprenant cette dernière page, tadaa, un lien vers une magnifique courbe qui vérifie expérimentalement (dans les limites expérimentales) que la persistance à la Erdos n'est limitée: http://ahonga.fr/js/pls430-nostat.html
Bon, prochain post quand j'aurai été jusqu'à 10^10000 et/ou étendu Erdos un peu plus, pour ne pas spammer. Cheers
Le 23/09/2017 à 22h48
Le 23/09/2017 à 22h45
Savoir si 11 est la limite est plus palpitant, c'est sûr; après savoir s'il y a une limite ou pas est en soit la question fondamentale: j'ai vu ce Pour la Science de 2013 http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/2013/237.pdf et a) vers la fin ils posent la question pour tout base fixe (pas seulement la base 10), et le raisonnement que j'ai posté ici s'applique bien aux bases 5/8/318 etc. b) en haut de la page 4 un mathématicien définit une persistance multiplicative sans la contrainte des 0 (à la Erdos) et conjecture que cette persistance 'à la Erdos' a une limite a un maximum, alors.. qu'il se trompe là je crois: avec le même raisonnement que j'ai posté, il y a O(n^3) maillons à la Erdos de taille n, o(n^a), a>0 maillons de maillons de maillons.. de maillions à la Erdos de taille n: bref quelque soit la persistance à la Erdos voulue on a l'embarras du choix.
Du coup, à vérifier expérimentalement
Le 20/09/2017 à 22h15
intéressant,mais ça ne prouve pas que ce maximum d'étapes est bien 11...
Le 20/09/2017 à 13h32
non pas A mais O(n^2): c'est le nombre de nombres de type 2^i*3^j*7^k ou 3^i*5^j*7^k qui s'écrivent avec n chiffres.
car 1O^n < 2^i*3^j*7^k < 10^(n+1) s'écrit n<i*log2+j*log3+k*log7<n+1. Et le nombre de i*log2+j*log3+k*log7<n est le volume d'un demi cube de côté n/log2, n/log3, n/log4.
Entre un polynome et une exponentielle ça ne change pas que l'exponentielle l'emporte: le nombre de 2^i*3^j*7^k ou 3^i*5^j*7^k n'augmente "que" polynomialement avec leur taille n alors que la part des nombres sans 0 décroit exponentiellement avec la taille n. Quand compte (intègre) sur l'ensemble des tailles n ça fait un nombre fini de maillons et non pas illimité: la persistance multiplicative est donc limitée, c'est la faute aux 0!
Le 19/09/2017 à 16h58
Du coup la persistance est limitée: on ne peut pas construire une suite (décroissante) infinie entre un nombre limité de maillons.
Je fais l'hypothèse, c'est vrai, que les produits de chiffres n'ont pas une écriture bizarroïde du type absence fréquente de 0 -- et on obtient alors qu'il y a asymptotiquement A*(9/10)^n maillons potentiels de taille n [A=(log2+log5)*log3*log7/2], c'est à dire s'écrivant avec n chiffres. Comme 9/10 < 1 c'est intégrable donc le nombre total de maillons potentiels sur les entiers existe, il n'est pas infini. CQFD.
Le 28/07/2016 à 08h54
Le gros problème est que dès qu'il y a un 0 dans un nombre la persistance multiplicative tombe à 1.
Et lorsqu'on fait des recherches avec des nombres ayant plusieurs centaines de chiffres, la probabilité de trouver un 0 dans ce nombre est énorme. Idem dans le nombre obtenu en multipliant ses chiffres.
Donc plus on recherche de grand nombre, moins on a de chance d'avoir une grande persistance multiplicative.
Le 27/07/2016 à 16h50
Le gros problème est que dès qu'il y a un 0 dans un nombre la persistance multiplicative tombe à 1.
Et lorsqu'on fait des recherches avec des nombres ayant plusieurs centaines de chiffres, la probabilité de trouver un 0 dans ce nombre est énorme. Idem dans le nombre obtenu en multipliant ses chiffres.
Donc plus on recherche de grand nombre, moins on a de chance d'avoir une grande persistance multiplicative.
Le 26/07/2016 à 22h03
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