Les angles en physique relativiste
Je me suis récemment intéressé à l'utilisation des angles en physique : il me semble qu'une description "angulaire" de la physique pouvait être riche d'enseignements. Par exemple en mécanique quantique, le fait que toutes les descriptions de l'énergie se réduisent en fin de compte a des fonctions périodiques du temps devrait nous conduire à une description géométrique de l'espace-temps où les rotations de l'espace des phases auraient un sens physique.
Mais la meilleure description géométrique de l'espace-temps reste celle de la relativité. Je vous propose donc de revisiter la relativité restreinte et la célèbre transformation de Lorentz d'un point de vue "angulaire".
Première approche
Commençons par le b-a ba de la relativité restreinte.Un evénement est un quadruplet (x,y,z,t) de nombres réels,
les trois premiers indiquant où, le dernier quand, l'événement
s'est produit (pour un observateur O dans un cadre de référence
donné). Le même événement pour un observateur
O' sera un autre quadruplet( x',y',z',t') qu'il obtiendra en utilisant
ses
moyens de mesures et ses horloges.
Supposons que l'observateur O', c'est à dire son système
de référence, est en déplacement uniforme à
à une vitesse v (mesurée par O) dans la direction x. Quelle
est la relation entre (x',y',z',t') et (x,y,z,t) ?
En mécanique classique (Newtonienne), les deux quadruplets sont
liés par la transformation de gallilée :
t' = t, y' = y, z' = z, x' = x-vt
Toutes les lois de la mécanique classique restent inchangées
par cette transformation.
Cependant comme l'a observé Einstein, si un éclair se
produit en O à (0,0,0,0) c'est à dire au moment où
nous supposons que les deux systèmes sont confondus, le front de
l'onde se déplace selon la loi
x2 + y2 + z2 = c2
t2
[1] où c est la vitesse de la lumière
L'observateur O' qui guette la propagation du signal lumineux doit
arriver à la même équation dans le système de
coordonnée S', par ce que les lois de la physique doivent rester
invariantes par changement du référentiel (principe de relativité,
LE principe fondamental de la physique).
soit :
x'2 + y'2 + z'2
= c2 t'2 [2]
Ce qui est incompatible avec la transformation de Gallilée.
Quelle est la transformation qui respecte l'équation de l'onde
?
On peut démontrer qu'il existe une solution linéaire,
c'est à dire de la forme :
x' = a11x + a12t
t' = a21x + a22t
y' = y
z' = z
Et on cherche les coefficients aij
En reportant dans l'équation [2] , on trouve assez facilement
:
x' = (x-vt) / (1-(v/c)2)1/2
t' = (t-vx/c2) / (1-(v/c)2)1/2
Ce qui est sous sa forme la plus simple la célèbre transformation de Lorentz, avec deux conséquences remarquables :
- x' et t' devant rester réels, il faut que v<c : on ne peux pas dépasser la vitesse de la lumière
- La simultanéité est relative : ce que l'observateur O enregistrerait comme événements simultanés (même t, x différents) ne le serait pas pour O' et lycée de Versailles !
L'analogie est encore plus frappante si l'on se souvient qu'en géométrie plane Euclidienne, les rotations d'un système de coordonnées sont représentées par les matrices
A = [a11 a12]telles que A'A = I, où A' est la transposée de A. On montre que ces matrices doivent avoir la forme
[a21 a22]
A = A(alpha) = [cos(alpha) sin(alpha)]Or la matrice définie par la transformation de Lorentz est
[-sin(alpha) cos(alpha)]
[ 1 -v ]Mais si au lieu de (x,t) et (x',t') nous prenons (x,ict) et (x', ict') (où i2 = -1), nous obtenons la matrice :
[------------ -------------]
[(1-(v/c)2)1/2 (1-(v/c)2)1/2 ]
[ ]
[ -v 1 ]
[------------ -------------]
[c2(1-(v/c)2)1/2 (1-(v/c)2)1/2 ]
[ 1 iv 1 ]Et il est maintenant possible de trouver un réel alpha tel que
[------------ -- -------------]
[(1-(v/c)2)1/2 c (1-(v/c)2)1/2 ]
[ ]
[-iv 1 1 ]
[--- -------- ----------- ]
[ c (1-(v/c)2)1/2 (1-(v/c)2)1/2 ]
cos(i alpha) = ch(alpha) =1/
et
sin(i alpha) = i sh(alpha) = i v/c * 1/
(ch et sh désignent les cosinus et sinus hyperboliques)
et notre matrice devient
[cos(i alpha) sin(i alpha)]Que l'on peut interpréter comme une "rotation d'un angle imaginaire" du système de coordonnées (x, ict). N'y voyez aucune signification mystique ! C'est seulement la traduction en français d'une constatation géométrique.
[-sin(i alpha) cos(i alpha)]
Dans tous les livres de physique, on met en garde le lecteur en lui affirmant "qu'aucune signification physique n'est liée à cette terminologie". Tiens donc ? Il me semble quand à moi que l'on peut en tirer quelque chose.
Par exemple si alpha=0, cela correspond au cas v /c = 0 :
en identifiant ch(alpha) et 1/
, on trouve
v2/c2 = 1 - 1/ch2 alpha [3]
théta = 2 pi correspond à v = 0.999993 c
théta = 4 pi correspond à v = (1 - 2.4 10-11)
c
De telles vitesses n'ont jamais été atteintes, même
avec des faisceaux de particules. Ceci permet donc quelques spéculations
:
Spéculation :
Supposons que cette rotation imaginaire soit une vraie rotation autour d'un axe imaginaire : un tour complet (alpha = 2pi) correspond à une vitesse de c * sqrt(1-1/ch2(2 pi)) = 0.999993 c ; mais après un tour complet on se retrouve à la position de départ, c'est à dire à la vitesse zéro ; simplement la masse aura augmentée dans la proportion de 1/(1-(v/c)2)1/2, c'est à dire de ch(2pi) = 267.747.De même après k tours, la masse a augmentée d'un facteur ch(2k pi)
Je prétends qu'une particule de masse au repos m, lancée à la vitesse de c * sqrt(1-1/ch2(2k pi)), est indiscernable d'une nouvelle particule immobile dont la masse est m' = m*ch(2k pi) ; évidemment pour que la position de la particule reste fixe le mouvement doit être un mouvement de rotation (spin).
Ou, si l'on préfère, qu'une particule lancée à la vitesse de c * sqrt(1-1/ch2(2k pi)), est indicernable d'une particule de même masse au repos lancée à la vitesse de c * sqrt(1-1/ch2(2l pi)), où k et l sont des entiers.
Ce qui est intéressant, c'est le rapport des masses relativistes
mesurées : m2/m1 = ch(2k pi) / ch(2l pi).
En effet les mesures de masses sont relatives : on mesure des masses
relativement à leurs effets sur d'autres masses. La seule masse
"absolue", c'est la masse de Planck mp = hc/G ~ 10-5 grammes
.
Je prétends que le processus décrit correspond à la création de nouvelles particules, qu'il existe une infinité de particules, mais que les seules particules présentes dans l'univers sont celles dont les masses sont mp * ch(2k pi) / ch (2l pi) , avec k et l entiers, l > k
Seconde approche
L'espace des phases, c'est un espace abstrait a 6 dimensions dans lequel
chaque "point" a 6 coordonnées, trois coordonnées de position
px py pz et trois coordonnées de vitesse vx vy vz ; c'est pratique car
un seul point de l'espace des phases donne tous les renseignements sur
le déplacement d'une particule.
Limitons
nous à une coordonnée d'espace x et une coordonnée
de vitesse v ; l'espace des phases de la relativité restreinte est
courbe. Nous ajoutons donc une troisième dimension pour visualiser
la courbure (rayon de courbure R). La position sera repérée
par le marqueur thêta et la vitesse par le marqueur phi.
Pour un observateur immobile le déplacement d'un objet à
la vitesse v sera d=Rtheta et la vitesse sera reliée à l'angle
phi par la relation v = c sin(phi). Pour cet observateur, les photons cercleront
autour des pôles en suivant des trajectoires de longueur nulle.
Soit
M1M2 un déplacement perçu par un observateur au repos. Dans
l'espace des phases le déplacement réel correspond à
l'arc (m1 m2) qui se projette selon l'arc (n1 n2) dans le plan équatorial.
Le segment [O n1] = Rcos phi. L'arc (n1 n2) = [O n1] theta. Comme
cos2 phi + sin2 phi = 1 et sin phi = v/c, on a :
(m1 m2) = (M1 M2) ,
qui n'est autre que la contraction de Lorentz.
Dans
l'espace des phases le temps n'est pas une variable libre. Le temps
propre se calcule. Il est proportionnel à l'arc (T1, T2), projection
de l'arc (m1 m2) sur le plan tangent au pôle :
t = (T1 T2) / c = thêta R cotg(theta) / c
Synthèse
Nous avons donc deux points de vue sur la transformation de Lorentz :
Dans le premier, on a une rotation d'un angle imaginaire i alpha du système de coordonnées (x,ict) de l'espace réél.
Dans le second, on a une rotation d'un angle réel phi du système (x,v) de l'espace des phases
Dans le premier cas,
= 1/ch(alpha)
Dans le second cas,
= cos (phi), puisque v/c = sin(phi) par définition de phi.
d'où
1/ch(alpha) = cos(phi)
[4]
soit
phi = arc cos(1/ch alpha) [5]
Ou encore après quelques transformations, en utilisant arg ch(x) = log(x+sqrt(x-1)) :
alpha = log(1/cos(phi)+tan(phi)) = log( (1+sin(phi)) / cos(phi) ) [6]
On remarquera que l'équation [6] n'a de solutions réelles que si 1/cos(phi) >1, puisque arg ch(x) n'est défini que pour x > 1, c'est a dire - pi/2 <= phi <= pi/2 ; mais c'est bien le cas ici, puisque on suppose qu'on ne peux pas dépasser la vitesse de la lumière.
alpha = 2pi pour phi = 1.567 et sin(phi) = 0.999993, que nous retrouvons
donc.
alpha = pi pour phi = 1.48442 et sin(phi) = 0.996272 => v = 298675
km/s
Si alpha a vraiment un sens "angulaire", à cette vitesse une particule devrait "s'inverser", ie se comporter comme une antiparticule. Or on n'observe pas cela.
Objection retenue.
> La suite : La relativité