Journal d'un terrien

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Une nouvelle théorie des ensembles

alephPremière approche

La théorie des ensembles ZFC-F+AFA conduit a penser que la structure de ce que sont les "vrais" ensembles peut être modélisée par un graphe. En effet un ensemble qui peut se contenir lui-même est facilement représenté par un graphe. Mais pas n'importe quel graphe !
Voici par exemple le graphe de l'ensemble défini par E = {a,b,c,d, E}


les éléments de l'ensemble E sont a,b,c,d et E lui-même.

Il semble logique de supposer que deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments : cependant si l'on définit A et B par :
A={1,A} et B={1,B}, ceci conduit a A=B si et seulement si A=B, ce qui n'est pas très utile  ! Pourtant si A={1,2} et B={1,2}, il faut bien que l'on puisse prouver A=B !
idem dans le cas de la structure :  dans laquelle A et B sont identiques puisqu'ils pointent vers les mêmes éléments.

Avant de formaliser, explorons ensemble ce nouvel univers. Supposons que les ensembles soient des neuds dans un graphe connexe et orienté. Appellons cardinalité d'un ensemble le nombre de flèches qui partent du neud correspondant.

Naturellement, l'ensemble vide {} existe. Sa cardinalité est zéro.
Si E est un ensemble, l'ensemble {E} qui contient un élément, E lui-même, existe.

De même si E est un ensemble, les ensembles Fn = {E,E,E....} qui contiennent n fois l'ensemble E , existent.
par exemple {{},{}} existe. Est-ce vrai seulement lorsque n est fini ?
On est tenté alors d'utiliser des graphes valués par des indices >= 1.  (voire > 0 pour les enembles flous ?)

Singletons

Parmi les ensembles de cardinalité 1, les singletons, nous avons {{}}, l'ensemble contenant l'ensemble vide, et également O1, l'ensemble défini par O1 = {O1 }, ou l'ensemble "qui se mord la queue", ainsi que tous les ensembles E={F}où F est un autre ensemble (ce qui inclut E={{F}} par exemple.) Y en a-t-il d'autres ?

En particulier on pourrait songer aux systèmes suivants :
S1 : A={B}, B = {A}
S2 : A={B}, B={C}, C={A}
etc.

Ces systèmes définissent-ils des "vrais" ensembles ? Remarquons que leur définition est symétrique et que  dans chaque système les ensembles ainsi définis possèdent les mêmes propriétés : Dans le système S1, A et B ont les mêmes éléments, A et B eux même. Remarquons encore que A=B=O1 est une solution de S1, et que A=B=C=O1 est une solution de S2.

Je propose donc de dire que les ensembles définis par ces systèmes n'apportent rien de plus. Plus précisément nous allons exiger que chaque équation ensembliste ait une solution unique. Une telle equation sera de la forme A={a,b,c,...} où a,b,c sont des ensembles. Il nous faudra donc donner une méthode effective de recherche de cette solution.

doublets

Mais voyons donc les ensemblesde cardinalité 2, les doublets :
{{},{}} est un doublet
On est tenté de dire que si E et F sont des ensembles {E,F} existe.
en particulier si E est un ensemble, {E,E} existe.
mais ça ne suffit pas :  O2 ={O2 , O2} est aussi un ensemble, "l'ensemble qui se mord doublement la queue".
De même  F={E,F} est un ensemble si E est un ensemble ?

Soit maintenant le système :
A={B,B}, B={A,A} : ce système définit-il deux ensembles ? en fait  A=O2, et B=O2 est une solution de ce système. Si l'on souhaite que cette solution soit unique. Le système n'a donc pas de solution si A # B

Un autre essai, où l'on suppose que C est un ensemble : soit les systèmes :
S3 : A={B,C}, B={A,C}
S4 : D={D,C}
Si l'on accepte que S4 a une solution, D est un ensemble. Dans ce cas, A=B=D est la solution unique de S3 : S3 n'a pas de solution si A#B

Dans le système E={1,F}, F={2,E}, par contre, on peut accepter que E et F soient des ensembles. Mais dans E={1,F},F={1,E} la seule solution sera E=F=S, solution de S={1,S}

On peut imaginer que pour chaque système d'équations on crée un système réduit , en remplaçant toutes les variables par une seule. Si ce système réduit  a une solution, alors c'est c'est celle du système complet. Sinon, le système complet définit bien des ensembles (un par variable libre du système);

Mais soit le système, où l'on suppose que D est un ensemble :
S5 : A={B,D}, B={C}, C={A,D} : il définit bien les trois ensembles distinct A, B,C.
le système réduit est alors A={A,A},A={A},A={A,A} qui n'a pas de solutions (la seconde équation est incompatible avec les autres car elle definit un ensemble de cardinalité 1)

et evidemment le système A={a,b},B={a,b} n'est valable que si A=B

Quid de W={{W},W} ? c'est aussi un ensemble que l'on a "oublié" dans nos définitions...
idem pour X={{{X}},X} ou Y={{{Y}},{Y}} ...

Peut être faut il valuer les arêtes avec deux valeurs : le nombre de répétitions et le nombre de sous niveaux {{...}. Mais alors les arrêtes parallèles (même ensemble d'origine, et même destination) doivent porter des nombres de sous niveaux differents. Ce qui fait que l'on peut, en interdisant les arêtes paralleles, valuer le graphe avec des ensembles de couples dont les second membres sont tous différents.
ainsi X={{{X}},X} est  représenté par le graphe où X porte une flêche vers lui même, la flèche étant valuée par {(1,2), (1,1)}.
Ca devient compliqué...

l'infini

L'axiome de l'infini pose un problème : il définit un ensemble infini comme un ensemble qui contient une partie de lui-même différente de lui même et aussi grosse que lui-même.  Soit alors E={1,F} et F={2,E} : d'après cette définition ce sont deux ensembles infinis ! Or leur cardinalité est 2...
ceci sous réserve que E et F soient "aussi gros" l'un que l'autre. Il nous faudra formaliser cela. On dirait que deux ensembles ont la même puissance s'il existe un procédé effectif d'appariement des éléments des deux ensembles.

lien avec la logique

On peut considerer nos graphes valués comme des valeurs logiques de propositions autoréférentielles, a ceci près qu'il n'y a pas de négation....



Reprenons, avant que la tête ne nous tourne. On peut identifier certains principes d'une théorie des ensembles "naturelle".
Anti-ensembles : ensemble défini par un système d'équations incompatibles, "sans solutions". Passons outre ce blocage mental, et admettons que ces équations définissent bien des objets !

Par exemple bien que [E={E}] définisse un ensemble, [1={1}] n'est  pas un ensemble car 1 est défini par 1 := {{},{{}}}  et ne vérifie pas  l'équation pour des simples raisons de cardinalité. par contre E={E,E} définirait un antiensemble ? quid de [Ø ={Ø}]  ? de [E={E,0}, E={E,1}] ? de [E={E},E=<n'importe quelle autre equation>] ?

En fait je cherche a  fabriquer le "non" d'un ensemble vu comme une valeur logique. Il faut alors trouver quels ensembles correspondent à vrai ou faux ou indéterminé, etc.  La proposition autoreférentielle "je suis vraie" que l'on peut rendre par "ma valeur logique est moi même" s'ecrira (VL(V)=V).
Supposons que la valeur logique d'un ensemble soit le premier ordinal de cet ensemble : VL(E)={E}. "Je suis vraie" sera alors l'ensemble [E={E}], c'est à dire E=O1. Mais comment coder la phrase "ma valeur logique est x" où x est un ensemble quelconque ? simplement par [x={x}], ou par [{[{E}=x]}=x] ? (en supposant tout d'abord que E est la VL de la phrase)...

Une première tentative consiste à supposer que Ø = faux, et que n'importe quelle valeur différente signifie "plus ou moins vrai". dans ce cas "je suis faux" s'écrit VL(Ø)=Ø

A SUIVRE...  

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Commentaires (3) :

Page : [1] 

Chem
Le 26/11/2016 à 21h52
Mercia

^^

Lepouet
Le 01/11/2013 à 18h18
Bonjour et merci pour vos travaux, qui démystifient "la mathématique" en montrant ses limites.

Je pense (depuis longtemps) en lisant votre dernière phrase qu'elle est la clé de tout. Nous (les humains, en ce moment) sommes aveuglés dans le cheminement de nos réflexions (philosophiques, logiques, mathématiques, et dans presque toutes les activités humaines) par une invention qui nous paraît fondamentale (au sens strict, donc indispensable) : il s'agit de "l’invention" du zéro! Et par voie de conséquence, de l'infini "actuel", son corolaire (l'un impliquant l'autre, comme vous le dites très bien dans votre présentation de la théorie des ensembles).

Notez par ailleurs que votre nouvelle théorie des ensembles se rapproche fortement de la théorie des catégories (ou des structures), tout aussi (sinon plus) féconde que la théorie des ensembles.

Quel mathématicien, y compris les constructivistes et les intuitionnistes, osera cependant abandonner l’axiome d’existence de l’ensemble vide (ou de l’infini) ? Et construire une théorie sur ce fondement ?

Il faudrait pour commencer abandonner l’idée d’une existence « en soi » des objets mathématiques, chère à beaucoup de mathématiciens dit « réalistes » ou « platonistes », et considérer enfin que, comme la philosophie, la poésie ou toute autre activité de l’esprit , les mathématiques ne font que donner un éclairage sur le fonctionnement de notre cerveau. Certes, cet éclairage est fécond en ce sens qu’il nous permet de dégager ce qui nous semble être un certain ordre dans le fonctionnement de l’univers où nous sommes plongés. Mais l’infini (et son équivalent logique le zéro), supposés non comme potentiels mais comme actuels, sont-il bien utiles ou ne sont-ils pas au contraire un piège où nous nous enlisons. Sans doute ont-ils permis de progresser dans cette « compréhension » de nous-mêmes et du monde en « simplifiant » la formulation des modèles et les démonstrations dans ces modèles, sans doute ne faut-il pas les abandonner à ce titre, pas plus que nous n’abandonnons la théorie de Newton dans les cas où la relativité générale n’apporte rien de plus. Mais la sortie des paradoxes, indécidabilités et incomplétudes ou de la course aux transcendances les plus inaccessibles (selon les termes mêmes de leurs auteurs) et la découverte de nouveaux horizons, intégrant l’humain et ses limites aux théories mathématiques est sans doute à ce prix. Sinon, les mathématiques, colosse aux pieds d’argile et comme le fit la bibliothèque de Borges, ne risquent-elles pas de s’effondrer sur elles-mêmes, faute de disposer d’assez de matériaux dans tout l’Univers pour en consolider les bases !

Ah les Maths. !
Le 26/08/2013 à 01h30
Petite erreur : A inter B ={} => {} n'appartient pas aux deux, car sinon A inter B ={{}} différent de {}...


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