Auteur: Serge Boisse
Date: Le 26/03/2023 à 18:03
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Construire les entiers "à l'envers", à partir des complexes

Qu'est ce qu'un nombre ?
Qu'est-ce qu'un entier ?
Actuellement les mathématiciens utilisent une approche "bottom up" en commençant par définir les entiers (à partir des axiomes de Peano), puis les rationnels à parie des entiers, les réels à partir des rationnels les complexes à partir des réels...

Il me semble que cette approche ressemble fortement à celle qui prévalait en géométrie avant les géométries non euclidiennes, et qu'une "numération non Peanienne" devrait pouvoir exister.

Autrement dit, je propose une approche "top down" : définir a priori ce qu'est un "nombre", puis définir les réels, puis les entiers, etc. à partir de la définition des nombres, et non l'inverse. Plusieurs schémas de ce qu'est un nombre devraient être possible et leur exploration ouvre une nouvelle voie que j'espère prometteuse.

Notre définition a priori du "nombre" doit couvrir notre "intuition" de ce qu'est un nombre, tout comme les axiomes de Peano tentent de recouvrir notre "intuition" de ce qu'est un entier.

Il me semble que, bien que les quaternions, les octonions ou les matrices puissent être considérés d'un certain point de vue comme des nombres, ce sont les complexes qui capturent le mieux la notion intuitive de nombre : intuitivement, la multiplication de deux nombres doit rester commutative et associative, et on doit préserver la distributivité.

Nous allons donc tenter de définir un ensemble T, "l'ensemble de tous les nombres", qui possédera les mêmes propriétés calculatoires que l'ensemble C des nombres complexes, mais qui ne sera PAS construit à partir des réels ou des entiers, ni de la théorie ZF, mais simplement par la donnée d'axiomes qui s'ajouteront aux axiomes de base de la logique d'ordre 1 avec quantificateur. En particulier cette approche peut être qualifiée de constructiviste puisque on n'utilisera pas le principe de récurrence dénombrable (a a fortiori transfini), ni l'axiome du choix.

Notre ensemble T étant supposé existant, et contenir au moins un élément que nous appelleront "0", il faudra définir deux opérations dessus, qui posséderont les propriétés usuelles de la multiplication des complexes. La difficulté ici est que l'on ne peut PAS définir le résultat de l'addition ou de la multiplication à partir de la décomposition d'un nombre (complexe) et a+bi, puisque on n'a pas encore défini les réels !

Une première approche est de poser dès le départ, comme axiome,

Une autre approche est de ne définir que l'addition : On supposera

On appellera par convention "1" le nombre e(0), et on définira le résultat de la multiplication a*b de deux nombres non nuls comme suit :

Soit x un nombre tel que e(x)=a, et y un nombre tel que e(y) = b (ces nombres existent dès lors que a et b sont non nuls) alors le résultat M de la multiplication de a par b sera par définition l'ensemble des nombres m tels que e(m) = e(x+y) ;

On montrera ensuite que les éléments de M ont tous la même exponentielle (Et nous savons qu'ils ne diffèrent que de $2k\pi i$, même si nous n'avons pour l'instant pas défini $i$, ni $\pi$, ni même $2$ !)

Cela peut sembler compliqué, mais cette seconde approche est plus "pure" en ce qu'elle n'exige qu'un nombre minimal d'axiomes : On part d'un groupe et non d'un corps, et on construit un corps à partir de ce groupe et d'une certaine fonction $e()$ possédant des propriétés vraiment minimales. On remarquera en particulier que dans cette construction l'expression $e(x+y)=e(x)\times e(y)$ n'est pas une propriété de l'exponentielle mais une définition de la multiplication ! De même la distributivité de * par rapport à + pourra se démontrer dans construction, et devient alors une propriété de l'exponentielle.

Le nombre $i$ sera construit ainsi : on sait, à cause de la surjectivité de e(), qu'il existe un nombre $\alpha$
tel que $e(\alpha )=-1$ : on posera $j=e(\alpha /2)$ : il n'est pas unique mais on montre que seuls deux de ces nombres ($i$ et $-i$) possèdent la propriété $ii=-1$

Inversement on peut aussi définir l'addition à partir de la multiplication et des propriétés de notre fonction e(). On suppose donc qu'il existe un groupe commutatif $(T,\ast )$, et une fonction $e()$ telle que $e(0)=1$, l'élément neutre de $\ast$. On posera ensuite, par définition de l'addition, $e(a+b)=e(a)\ast e(b)$

Il est également possible de définir un groupe, puis deux fonctions e() et L() (cette dernière de T* vers T) telles que e(L(x)) = x pour x<>0.

Quelque soit la construction que l'on choisit parmi les propositions ci-dessus, on arrive à un corps commutatif (T,+,) et une fonction e(), surjective de T vers T-{0}, telle que e(0)=1 et e(x+y)=e(x)e(y) pour tout x,y de T. En outre il existe deux éléments j (i et -i) tels que i*i=-1

L'étape suivante est de construire les réels à partir des complexes.

On peut procéder de deux façons : la première est de poser un axiome supplémentaire comme quoi il existe deux fonctions P() et Q() telles que pour tout x et y  de T on ait les propriétés suivantes :

    P(P(x)) = P(x)  
    Q(Q(x)) = Q(x)     P() et Q() sont donc des projecteurs.  
    P(1) = 1  
    Q(i) = i  
    P(Q(x)) = Q(P(x)) = 0  
    Q(x+y) = Q(x)+Q(y)  en particulier cela implique Q(0)=0  
    P(x+y) = P(x)+P(y)  en particulier cela implique P(0)=0  
    P(x*y) = P(x)*P(y) + Q(x)*Q(y)  
    Q(x*y) = P(x)*Q(y) + Q(x)*P(y)  
    e(P(x)) = P(e(P(x)))  
    Q(e(P(x))) = 0    
    P(e(Q(x)))^2 - Q(e(Q(x)))^2 = 1  
    Q( e(Q(x)) + e(-Q(x)) ) = 0    
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On appellera "réels" les nombres Q(x) et R leur ensemble. De même on appelle "imaginaires" les nombres  Q(x) et on appelle I leur ensemble. On démontre ensuite que tout nombre x peut se mettre de manière unique sous la forme a + b avec a dans R et b dans I. On démontre ensuite que I est identique à l'ensemble iR et que R est identique à l'ensemble iI.

L'autre façon est de poser l'existence d'un seul projecteur P() et de définir Q() par Q(x)=P(i*x). C'est bien sur plus minimaliste, donc plus élégant, mais est-ce que cela suffit pour que l'on puisse démontrer les propriétés de Q() énoncées ci-dessus ? Je ne sais pas.

Il faudra ensuite, mais c'est assez facile, démontrer que les réels possèdent bien les propriétés qu'on attends d'eux, c'est à dire que (R,+,*) est un sous-corps de T. Cependant cela ne suffit pas car il faut que l'on parle de la relation d'ordre, et nous ne l'avons pas encore définie. Nous le ferons plus loin.

L'étape suivante est de définir le nombre $\pi$ par $P(\pi )=pi$ (donc pi est réél), $e(i\ast pi)=-1$ et $e(i\ast \pi /2)=i$.
(en définissant par convention 2=1+1, puisque nous n'avons pas encore caractérisé les entiers). Peux-t-on démontrer l'existence de pi ou faut-il l'admettre (la poser comme axiome), je ne sais pas !

Nous avons maintenant tous les éléments pour caractériser les entiers relatifs : ce sont les nombres k (de T) tels que e(2ipi*k) = 1. On appelle Z leur ensemble et on démontre facilement toutes les propriétés usuelles des entiers relatifs.

Nous devons maintenant définir la relation d'ordre $\le$ : On appelle réels strictement positifs l'ensemble R+* = e(R), image de R par e(). En y ajoutant 0, on obtient R+, et on pose x <= y si et seulement si y-x est dans R+. On démontre qu'il s'agit bien d'une relation d'ordre. On définira facilement de même la relation < et les intervalles [a,b]

Ensuite on montre que tout nombre (complexe) z s'écrit aussi de comme z=xe(iy) avec x dans R+ et y dans R, et la construction est même unique (pour les complexes non nuls) si l'on restreint y à l'intervalle [0, 2pi[

Nous pouvons alors définir les entiers naturels : ce sont simplement les éléments de l'intersection de R+ avec Z.

Notons que l'on n'a pas fait appel à la fonction successeur, ni au raisonnement par récurrence pour définir les entiers naturels ! Au contraire, on peut maintenant démontrer (et non plus admettre) les axiomes de Peano qui deviennent donc des théorèmes. Enfin probablement, parce que je ne l'ai pas fait complètement, même si j'ai obtenu des résultats partiels intéressants. A vous de jouer !

Une question intéressante est de savoir si, dans notre construction, on peut démontrer le caractère archimédien et complet de l'ensemble R ainsi construit. Je ne sais pas !

Quant aux rationnels, ils sont simplement les éléments de T qui peuvent se mettre sous la forme a/b avec a et b entiers. Définition bien plus simple que celle qui fait appel aux classes d'équivalences ! Les rationnels ne sont en fait qu'un sous produit dérivé de notre construction des entiers, et ne constituent nullement une étape indispensable pour définir les réels.

Une question fascinante ici est de savoir s'il existe plusieurs modèles de T,R,Z,N. La réponse est probablement oui, car nous n'avons pas fait d'hypothèses contraignantes sur les fonction P() et Q() et il existe une infinité de projecteurs qui ont ces propriétés. Et nous n'avons même pas imposé à T d'être infini !
Si c'est le cas, quels sont ces modèles de T ? Ils ressembleront tous à C, ils seront même isomorphes à lui, mais quelles sont leurs différences ?

Si nous modifions légèrement les axiomes qui définissent T, on obtient également des structures intéressantes. Par exemple si nous n'imposons pas la commutativité de * sur T, mais seulement sur P(T), on peut prendre l'ensemble des quaternions comme modèle de T. Que deviennent alors les ensembles R, I, Z, N si nous les construisons à partir de ce nouveau modèle de T ? Question ouverte.

Voila, j'espère que cette construction "top down" de la hiérarchie des nombres vous interloquera !