Auteur: Serge Boisse
Date: Le 26/03/2023 à 19:03
Type: web/MOC
Tags: théorie,ensembles,maths
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Une nouvelle théorie des ensembles

Lorsque les ensembles peuvent se contenir eux-même, que se passe-t-il ?

Première approche

La théorie des ensembles ZFC-F+AFA conduit a penser que la structure de ce que sont les "vrais" ensembles peut être modélisée par un graphe. En effet un ensemble qui peut se contenir lui-même est facilement représenté par un graphe. Mais pas n'importe quel graphe !

Voici par exemple le graphe de l'ensemble défini par E = {a,b,c,d, E} :

les éléments de l'ensemble E sont a,b,c,d et E lui-même.

Il semble logique de supposer que deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments : cependant si l'on définit A et B par :
A = {1, A} et B = {1, B}, ceci conduit à A=B si et seulement si A=B, ce qui n'est pas très utile  ! Pourtant si A={1, 2} et B={1, 2}, il faut bien que l'on puisse prouver A=B !
idem dans le cas de la structure :  dans laquelle A et B sont identiques puisqu'ils pointent vers les mêmes éléments.

Avant de formaliser, explorons ensemble ce nouvel univers. Supposons que les ensembles soient des neuds dans un graphe connexe et orienté. Appellons cardinalité d'un ensemble le nombre de flèches qui partent du neud correspondant.

Naturellement, l'ensemble vide {} existe. Sa cardinalité est zéro.
Si E est un ensemble, l'ensemble {E} qui contient un élément, E lui-même, existe.

De même si E est un ensemble, les ensembles Fn = {E,E,E....} qui contiennent n fois l'ensemble E , existent.
par exemple {{},{}} existe. Est-ce vrai seulement lorsque n est fini ?
On est tenté alors d'utiliser des graphes valués par des indices >= 1.  (voire > 0 pour les enembles flous ?)

Singletons

Parmi les ensembles de cardinalité 1, les singletons, nous avons {{}}, l'ensemble contenant l'ensemble vide, et également O1, l'ensemble défini par O1 = {O1 }, ou l'ensemble "qui se mord la queue", ainsi que tous les ensembles E = {F} où F est un autre ensemble (ce qui inclut E = {{ E }} par exemple ; l'ensemble qui contient un ensemble qui contient lui-même !) Y en a-t-il d'autres ?

En particulier on pourrait songer aux systèmes suivants :
S1 : A = {B}, B = {A}
S2 : A= {B}, B = {C}, C = {A}
etc.

Ces systèmes définissent-ils des "vrais" ensembles ? Remarquons que leur définition est symétrique et que  dans chaque système les ensembles ainsi définis possèdent les mêmes propriétés : Dans le système S1, A et B ont les mêmes éléments, A et B eux même. Remarquons encore que A=B=O1 est une solution de S1, et que A=B=C=O1 est une solution de S2.

Je propose donc de dire que les ensembles définis par ces systèmes n'apportent rien de plus. Plus précisément nous allons exiger que chaque équation ensembliste ait une solution unique. Une telle equation sera de la forme A={a,b,c,...} où a,b,c sont des ensembles. Il nous faudra donc donner une méthode effective de recherche de cette solution.

doublets

Mais voyons donc les ensembles de cardinalité 2, les doublets :

{ { }, { } } est un doublet
On est tenté de dire que si E et F sont des ensembles {E, F} existe.
en particulier si E est un ensemble, {E, E} existe.
mais ça ne suffit pas :  O2 ={O2 , O2} est aussi un ensemble, "l'ensemble qui se mord doublement la queue".
De même  F= {E, F} est-il un ensemble si et seulement si E est un ensemble, ou pas ?

Soit maintenant le système :
A={B,B}, B={A,A} : ce système définit-il deux ensembles ? en fait  A=O2, et B=O2 est une solution de ce système. Si l'on souhaite que cette solution soit unique. Le système n'a donc pas de solution si A # B

Un autre essai, où l'on suppose que C est un ensemble : soit les systèmes :
S3 : A= {B, C}, B={A, C}
S4 : D= {D, C}
Si l'on accepte que S4 a une solution, D est un ensemble. Dans ce cas, A=B=D est la solution unique de S3 : S3 n'a pas de solution si A#B

Dans le système E={1, F}, F={2, E}, par contre, on peut accepter que E et F soient des ensembles. Mais dans E={1, F} + F={1, E} la seule solution sera E=F=S, solution de S={1,S}

On peut imaginer que pour chaque système d'équations on crée un système réduit , en remplaçant toutes les variables par une seule. Si ce système réduit  a une solution, alors c'est c'est celle du système complet. Sinon, le système complet définit bien des ensembles (un par variable libre du système);

Mais soit le système, où l'on suppose que D est un ensemble :
S5 : A={B,D}, B={C}, C={A,D} : il définit bien les trois ensembles distinct A, B,C.
le système réduit est alors A={A,A},A={A},A={A,A} qui n'a pas de solutions (la seconde équation est incompatible avec les autres car elle definit un ensemble de cardinalité 1)

et evidemment le système A={a,b},B={a,b} n'est valable que si A=B

Quid de W={{W},W} ? c'est aussi un ensemble que l'on a "oublié" dans nos définitions...
idem pour X={{{X}},X} ou Y={{{Y}},{Y}} ...

Peut être faut il valuer les arêtes avec deux valeurs : le nombre de répétitions et le nombre de sous niveaux {{...}. Mais alors les arrêtes parallèles (même ensemble d'origine, et même destination) doivent porter des nombres de sous niveaux differents. Ce qui fait que l'on peut, en interdisant les arêtes paralleles, valuer le graphe avec des ensembles de couples dont les second membres sont tous différents.
ainsi X={{{X}},X} est  représenté par le graphe où X porte une flêche vers lui même, la flèche étant valuée par {(1,2), (1,1)}.
Ca devient compliqué...

l'infini

L'axiome de l'infini pose un problème : il définit un ensemble infini comme un ensemble qui contient une partie de lui-même différente de lui même et aussi grosse que lui-même.  Soit alors E={1,F} et F={2,E} : d'après cette définition ce sont deux ensembles infinis ! Or leur cardinalité est 2...
Ceci sous réserve que E et F soient "aussi gros" l'un que l'autre. Il nous faudra formaliser cela. On dirait que deux ensembles ont la même puissance s'il existe un procédé effectif d'appariement des éléments des deux ensembles.

lien avec la logique

On peut considerer nos graphes valués comme des valeurs logiques de propositions autoréférentielles, a ceci près qu'il n'y a pas de négation....

Reprenons, avant que la tête ne nous tourne. On peut identifier certains principes d'une théorie des ensembles "naturelle".

• principe de l'ensemble vide : {} est un ensemble

• principe de l'égalité : par définition {}={}. Si E et F sont deux ensembles, E=F ssi E on n'a pas E#F. On définit le symbole # comme suit :  

• E#F si F contient un ordinal de {E} ou un cardinal de {E}

• E#F si card E#card F

• deux ensembles définis par des équations ensemblistes (cf ci après) sont différents si les équations ne peuvent être rendues identiques par renommage des variables libres du système.

• est-ce que ça suffit ?

• principe d'individualité : dans un ensemble, tous les éléments sont différents. (ceci exclut [O={O,O}])

• principe des hyper ensemble : un ensemble peut appartenir à lui-même . Peut être suffit-t-il de ne pas l'interdire ? le principe des équations ci dessous autorise exclusivement de tels hyperensembles, et dit comment les construire.

• principe des ordinaux : si E est un ensemble, {E} est un ensemble. La suite E,{E},{{E}}... est la suite des ordinaux basés sur E. {E} est dit le successeur de E. Les éléments de cette suite forment un ensemble.

• principe des ordinaux infinis (?) Si E est un ensemble,  il existe un ensemble D(E) = {E,{{E},...} dont les éléments sont indexés par des ordinaux;  c'est à dire que D(E) =l'ensemble des Ui tels que U{} = E, et si Ui est un ordinal (de E ou d'un autre ensemble !), U{i} = {Ui} 

• principe de l'union : si E est un ensemble et e n'appartient pas à E, alors E + e  = E U e est un ensemble.

• cas particulier des cardinaux : si E est un ensemble, et si e est un élément de e et {e} n'est pas un élément de E, alors E U {e} est un ensemble.  La suite E, {E,{E}}, {E,{E},{{E}}},... est la suite des cardinaux de E. 

• Cas encore plus particulier : La suite des cardinaux de {} est notée 0,1,2,3... et forme la suite des entiers cardinaux. Si a et b sont deux cardinaux,  on définit a a+b = a U b ! ca marche pas hélas !

• principe du cardinal : le cardinal d'un cardinal est lui même. Le cardinal d'un ordinal est 1. Le cardinal d'un ensemble defini par une equation (dans un système ou pas) est le nombre d'élements (fini) de termes a,b.. de l'équation. si E est un ensemble de cardinal x et si  e est un ensemble qui n'appartient pas à e, le cardinal de E U e est x+1. Est ce que ça suffit ?

• principe des équations ensemblistes :  On dira qu'une équation de la forme E={a,b,...} définit un ensemble si  les elements a,b,... sont des ensembles tous différents ou des ordinaux de E lui même et tous différents entre eux. On notera [E={a,b,..}] cet ensemble. PROBLEME : [{}={{}}] anti-ensemble ?

• principe des systèmes d'équations : Un système E={a,b..},F={c,d,..},... définit tous les ensembles E,F.. si chaque equation définit un ensemble au sens du principe des équations et si les ensembles résultats sont tous différents. 

• Une condition pour cela est qu'il n'existe pas deux equations E=..,F=.. semblables c'est à dire identiques par renommage de E en F par exemple ???? On notera [E={..}, F={...},...]  l'ensemble de ces ensembles.

• principe de l'inclusion : si A et B sont des ensembles non tous les deux vides, il existe cinq modalités mutuellement exclusives :

• A et B sont disjoints, c.a.d. A inter B= {}. Notons qu'il se peut que {} ne fasse pas partie ni de A , ni de B : peux on alors dire A inter B = {}, puisque normalement A inter B est l'ensemble des élements qui font partie à la fois de A et B ? peut être faut il distinguer Ø (ensembre vide actuel) et {} (intersection vide) ?

• A=B

• A inclu strictement dans B

• B inclu strictement dans A

• A et B sont liés, c'est a dire A-B#{}, B-A#{} et A inter B # {} 

• principe de la valeur logique : toute proposition portant sur les ensembles a une valeur logique qui est un ensemble.

• il faut sans doute ajouter l'axiome des parties et l'axiome du choix

Anti-ensembles : ensemble défini par un système d'équations incompatibles, "sans solutions". Passons outre ce blocage mental, et admettons que ces équations définissent bien des objets !

Par exemple bien que [E={E}] définisse un ensemble, [1={1}] n'est  pas un ensemble car 1 est défini par 1 := {{},{{}}}  et ne vérifie pas  l'équation pour des simples raisons de cardinalité. par contre E={E,E} définirait un antiensemble ? quid de [Ø ={Ø}]  ? de [E={E,0}, E={E,1}] ? de [E={E},E=<n'importe quelle autre equation>] ?

En fait je cherche a  fabriquer le "non" d'un ensemble vu comme une valeur logique. Il faut alors trouver quels ensembles correspondent à vrai ou faux ou indéterminé, etc.  La proposition autoreférentielle "je suis vraie" que l'on peut rendre par "ma valeur logique est moi même" s'ecrira (VL(V)=V).
Supposons que la valeur logique d'un ensemble soit le premier ordinal de cet ensemble : VL(E)={E}. "Je suis vraie" sera alors l'ensemble [E={E}], c'est à dire E=O1. Mais comment coder la phrase "ma valeur logique est x" où x est un ensemble quelconque ? simplement par [x={x}], ou par [{[{E}=x]}=x] ? (en supposant tout d'abord que E est la VL de la phrase)...

Une première tentative consiste à supposer que Ø = faux, et que n'importe quelle valeur différente signifie "plus ou moins vrai". dans ce cas "je suis faux" s'écrit VL(Ø)=Ø

A SUIVRE...