Auteur: Serge Boisse
Date: Le 27/03/2023 à 11:03
Type: web/MOC
Tags: maths,gémométrie
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Une nouvelle Géométrie (1)

Prologue

Je propose ici quelques réflexions pour la création d'une nouvelle géométrie, rien de moins !

Je sais, je ne suis pas le premier ; De nos jours il existe toutes sortes de géométries, euclidiennes, non-euclidiennes, Riemaniennes, hyperboliques, elliptiques, sphériques, projective, fractales...

Ma géométrie fait table rase de tout cela ! Elle résulte d'une remise a plat, de l'abandon des concepts les plus primitifs auxquels nous sommes habitués depuis notre enfance: La DROITE, le POINT, le PLAN, etc.

Foin de tout cela ! Nous devons abandonner ces schémas mentaux auxquels nous sommes tellement habitués que nous n'y prenons plus garde : Or ils sont autant de corsets rigides qui nous enferment, je le dis et je le prouve !

Ma nouvelle géométrie est plus pure que la géométrie euclidienne, et surtout elle a pour ambition de représenter la réalité, l'espace temps (mais nous verrons qu'il n'y a pas en réalité d'espace temps !), ce que ne font pas les géométries actuelles, même les plus sophistiquées : il n'est qu'a voir les déboires dans les quels sont engluées les physiciens qui tentent d'unifier la mécanique quantique et la relativité, ou de trouver la "théorie de tout", la soit-disant gravitation quantique, grâce aux supercordes... Naîfs qu'ils sont !

Seul un abandon de la géométrie et de la logique "classique" pourra, j'en suis convaincu, au prix il est vrai d'un effort mental non négligeable, faire jaillir la lumière.

Après un prologue pareil, il va falloir assurer !

Mais je vais y aller a petites touches : au lieu de vous proposer un cours magistral, je vais tenter de vous faire toucher du doigt, progressivement, les concepts de ma nouvelle géométrie. On y va ?

Première approche

Bon : alors la première chose à faire est de regarder autour de vous ! Eh oui, si nous abandonnons la géométrie "classique", nous abandonnons quasiment TOUS nos modes de raisonnement habituels et il ne nous reste que ces deux bases :

• Je pense donc je suis.
• Je peux observer le monde autour de moi.

Chacune de ces deux phrases a son importance.

Descartes ne contredira pas la première, sauf que si je pouvais lui parler je lui demanderait Comment il pense que je puis argumenter sur le monde qui m'entoure, en d'autre termes je lui poserait la question "quelle logique ais-je le droit d'utiliser ?" Certains papier récents sur la "logique quantique" montrent que le problème n'est pas trivial, mais la logique que je proposerai plus tard n'est pas la logique quantique !

Je ne discuterai pas le problème de la conscience pour le moment, bien qu'il soit très subtilement lié au problème de la représentation géométrique du monde... mais j'affirme sans preuve (pour le moment).

Le seconde phrase indique que je suis autorisé à contempler ce qui se trouve dans une direction donnée d relativement à "moi". En d'autres termes, il semble que je soit en droit d'utiliser des concepts d'angle et de distance pour repérer ce qui se trouve autour de moi.

Vous vous dites : mais ou veux-t-il en venir ? Serait-il en train d'introduire tout simplement la notion de coordonnées polaires (ou sphériques ?) C'est ça, sa nouvelle géométrie ? Foutaise ! Mais non ! Même si effectivement j'utiliserai temporairement faute de mieux des coordonnées polaires, c'est seulement pour introduire quelques idées de base, ensuite vous verrez...

Donc je me prends une ou plusieurs directions de référence, et je puis alors noter la position de tous les objets en terme d'angles par rapport à ma/mes direction(s) de référence... Mais je me pose alors la question de la distance : Suis en droit d'utiliser cette notion ? Ou encore : suis-je en droit d'utiliser un nombre réel pour "coder" cette notion de distance ? Et si oui, comment vais-je calculer ces distances ?

- Mais bien sûr ! répondez-vous. Il est évident que si l'on se donne un repère de référence, même angulaire, alors par simple triangulation on trouvera les distances ! Tout le monde sait que la donnée de deux angles et d'un coté d'un triangle suffit pour calculer les trois cotés ! 

Si moi, O, je mesure l'angle entre un objet M et un camarade C, et que je demande à C de mesurer l'angle OCM, alors je peux calculer le rapport entre les distances OC et OM, et même si j'ignore la distance "absolue" OM, il suffit que je prenne une unité arbitraire comme la distance OC pour pouvoir déterminer OM.

Eh bien je vais vous étonner : c'est faux ! Vous avez supposé implicitement dans votre raisonnement que l'espace était plan, ce que rien ne nous indique pour le moment. Ça y est, vous dites-vous : on va avoir droit à un topo sur les espaces courbes ! La barbe !

Même pas ! Je sais que vous savez bien que si l'espace est courbe, il suffit de changer un peu les règles de calcul (par exemple s'il est à courbure positive, il suffit d'utiliser la trigonométrie sphérique), mais ce n'est pas la que je veux en venir ; le point est : Qu'est ce qui vous autorise à dire que la courbure est constante ? comment pouvez vous poser a priori de pareilles notion de "courbure" alors que nous n'avons même pas encore défini ce que nous entendons par "espace", "angle" ou "distance" ?

Et précisément je voudrais vous emmener encore un peu plus loin dans l'exploration de ces notions de distance et d'angle. Je vais donc vous poser une question toute bête :

Supposons que je travaille dans un plan (Aïe ! J'ai déjà dit que ça n'existait pas dans ma géométrie ; mais faisons comme si), que je fixe une directions de référence, et que je repère donc les positions des objets autour de moi par cette directions et une distance (en coordonnées polaires, donc).

Quelle est la valeur de l'angle quand la distance vaut zéro ?

Question stupide ! La valeur est indéterminée, c'est tout ! Très bien. Mais alors,

Quelle est la valeur de l'angle quand la distance est négative ?

Niaâârdudjûûû !! Qu'est ce que c'est que ce truc ? Une distance négative ? Voyons.... Ça signifie simplement que l'on renverse le vecteur... oui, si r est négatif, tout se passe comme s'il était positif, mais que l'on ajoutait pi à l'angle thêta... j'ai bon ?

Presque. En fait je dirais que lorsque r est négatif, nous n'avons pas le droit d'identifier $(r,\theta )$ avec $(-r,\theta +\pi )$ : ils ne se situent pas dans le même espace. Mais nous verrons cela un peu plus loin. Pour le moment, résumons nous :

Nous avons découvert un comportement intéressant de la distance :

• Lorsqu'elle est positive, il semble possible de repérer des objets (je ne dit pas des points) à l'aide de coordonnées polaires.
• Lorsqu'elle est nulle, l'angle est indéterminé Lorsqu'elle est négative, il semble que "tout se passe comme si" on pouvait prendre la valeur absolue de cette distance, simplement il faut ajouter 180° (ou pi) à l'angle.
• Lorsqu'elle est infinie, on ne sais rien pour l'instant. Mais certaines considérations liées à ce que l'on appelle des plans projectifs semblent militer en faveur du fait que, pour certaines géométries, les points en +oo et -oo doivent être confondus. L'angle pi, encore...
• Et lorsque la distance est imaginaire...

Oh, eh, oh, ça va pas, non ? Qu'est ce que c'est que ces salades sur des distances infinies ou imaginaires ? J'ai jamais dit ça, moi !

Du calme ! Prenons donc les problème un par un. Voyons d'abord le comportement à l'infini. Prenons un exemple, un objet tout à fait usuel de la géométrie : une droite tracée sur une surface.

Géodésiques

Cela peut paraître incroyable, mais le terme "surface" n'est pas clairement défini par la mathématique actuelle, sans parler de son extension naturelle, la "variété" dont aucune définition cohérente n'existe). Seule est précisément définie la notion de "nappe régulière" (un ensemble de points dont chacun possède un voisinage qui peut être mis en correspondance bijective avec un voisinage d'un point homologue de R2), et une "surface" est définie comme l'union d'un ensemble de nappes régulières, et de points singuliers. Définition très vague... Mais acceptons la pour le moment.

Traditionnellement, en géométrie, on distingue le cas ou la surface est plane, à courbure positive, ou à courbure négative. Dans les deux derniers cas, on parle de géodesique et non de droite, il nous suffit de savoir que l'on considère la courbe qui, partant d'un point donné, "va toujours dans la même direction" (peut importe ce que cela signifie : pour le spécialiste, c'est une courbe dont la normale principale s'identifie en tous points à la normale à la surface).

Si l'espace est plan (euclidien), on a une droite "ordinaire".

Si l'espace est courbé positivement, par exemple la surface d'une sphère, la géodésique se referme sur elle-même : . ..Est ce sûr ? regardez :sur une telle surface (un tore à deux trous), les géodésiques peuvent être fort complexes ...

Eh oui, les géodésiques peuvent se croiser, et même repasser sur elles - mêmes une infinité de fois...

Et si l'espace est à courbure négative ? Par exemple sur une "selle de cheval", on a une courbe s'éloignant à l'infini ... Est-ce toujours le cas ?

Eh non ! l'intuition en ce domaine est trompeuse. Signalons tout d'abord qu'une surface à courbure négative peut avoir de nombreuses "têtes" différentes :

     selle    hyperboloïde à une nappe     surface à trois nappes infinies

Une géodésique peut alors également se croiser en faisant le tour d'une telle "cheminée" :

Et même en faire plusieurs fois le tour !

En partant d'un point O, une géodésique peut rallier le point A sur la cheminée en faisant zéro, un ou plusieurs tours :Remarquons à ce sujet que si la cheminée est un cylindre parfait, et si nous munissons la géodésique "directe" OA d'une mesure de distance (on dit une métrique), alors le nombre de géodésiques issues de O qui atteignent un point A situé à une distance entière de O est le nombre de diviseurs de la distance OA. (croyez moi sur parole). Dans le cas où la cheminée n'est pas un cylindre parfait, les choses sont plus compliquées mais la notion de nombre de diviseurs intervient aussi. Etonnant, non ?

Nous constatons donc :

• Qu'une géodésique peut se croiser elle-même
• Que pour aller d'un point à un autre il peut y avoir plusieurs géodésiques
• Que certains points sont "inaccessibles" à partir d'une géodésique partant d'un point O (par exemple ceux qui sont juste derrière une "cheminée".

Distances

Si donc nous nous donnons un point O (disons le point ou je suis, là, maintenant), et si nous regardons dans différentes directions, la "ligne de mon regard" est une géodésique issue de O. Si nous supposons qu'il existe une notion de distance (que nous n'avons pas encore définie) permettant de repérer les points sur une géodésique donnée, nous pouvons donc traduire ce que nous venons de voir en terme de distance :

Dans le cas général,

• Je peux constater que je peux parfois voir le même point dans plusieurs directions :
• Dans ce cas ce point est à plusieurs distances simultanément de moi !
• Je suis à même de penser que certains points sont invisibles pour moi.
• Parfois, même sur un espace fini, certaines directions du regard (géodésiques) semblent avoir une longueur infinie ; pourtant elles ne passent pas toujours par tous les points de l'espace.
• D'autres directions semblent se reboucler sur elles-mêmes : en regardant dans ces directions, je vois mon propre dos.
• Mais dans tous les cas, à la distance zéro, il y a moi (bien que je ne sache pas dans quelle direction je peux "me" regarder à la distance zéro).

Ben mon vieux, c'est sacrément compliqué, tout ça ! Ya pas un moyen d'y voir plus clair ?

Si ! mais pour en savoir plus, clique donc Nouvelle géométrie (suite) !

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