Journal d'un terrien

Web log de Serge Boisse

On line depuis 1992 !

Recherche personnalisée

Cosmo Maths !

La science moderne a la réputation de se construire à partir de calculs affreusement compliqués que seules les grosses têtes peuvent comprendre. Mais les idées fondamentales sont toujours très simples, et il est fréquent que l'on puisse les justifier de manière parfaitement valable à l'aide calculs qui ressemblent à des calculs d'épicier.

Les notes qui suivent sont des exemples dus à jean-pierre Petit, de l'observatoire de Marseille.


Comment retrouver les lois d'évolution de l'univers en trois lignes de calculs

Assimilons l'univers à un grumeau homogène de poussière de rayon R et de masse M. Considérons un grain de poussière de masse m situé à sa surface. Newton a montré que la force qui s'exerce sur cette masse est la même que celle que produirait toute la masse M concentrée au centre O, c'est à dire : Appliquons F = my de la mécanique (je noterai y = gamma car html ne supporte pas les lettres grecques :-{ )

Il vient : -mR" = GMm/R2ou : R2 R" + GM = 0 : c'est l'équation de Friedman.

Construisons l'une des trois solutions de cette équation différentielle : donnons pour ce faire à la fonction R(t) la forme a tb où a et b sont deux constantes à déterminer.

R = a tb => R' = ab tb-1 => R" = ab(b-1) tb-2. On met alors dans l'équation et on obtient :

b(b-1)a3t3b-2 + GM = 0 qui doit "fonctionner" quel que soit t. Seule solution, l'exposant de t doit être nul donc b = 2/3 ce qui donne a = sqrt(9/2 GM) et
R = racinecubique(9/2 GM t2/3).

R(t) est la longueur caractéristique de cet univers, qui peut être assimilé à son rayon de courbure, ou encore à la distance moyenne entre deux particules :

 


L'univers autistique

Un simple coup d'oeil à la courbe R(t) montre que l'expansion de l'univers a commencé par une explosion, la vitesse d'expansion allant ensuite en se ralentissant. Si l'on assimile R(t) à la distance moyenne entre deux particules, ct représente le rayon d'une onde électromagnétique émise à l'instant t=0. Avec une vitesse de la lumière constante, on voit que le rayon de cette "sphère horizon", ou sphère du connaissable restera pendant un certain temps inférieur à la distance moyenne entre les particules, lesquelles s'ignoreront totalement pendant cette période.

Et voilà pourquoi l'univers primitif était non collisionnel !


Comment calculer le rayon d'un trou noir

Soit un astre de rayon R et de masse M et une masse m à sa surface. Supposons que celle-ci soit une fusée. L'énergie qu'elle pourra mettre en oeuvre ne pourra excéder mc2, qui représente la son équivalent en énergie. Calculons l'énergie à dépenser pour extraire cette masse du champ de gravité de l'astre : la force est F = -GMm/r2, Le travail est -GMm/r2 dr , où dr représente un petit incrément du rayon. L'énergie à fournir E est l'intégrale de R à l'infini du travail, soit E = GMm / R

Cette énergie excédera l'énergie maximale disponible si GMm/R > mc2, soit :

R < GM/c2 (Rayon de Schwartzchild)

En fait, un calcul plus fin tenant compte de la diminution de la masse conduirait à Rs = 2GM/c2

Si une masse M est contenue à l'intérieur du rayon de schwarzchild, aucun objet ne peut en sortir car l'énergie nécessaire est supérieure à mc2. Le rayon de Schwarzchild du soleil est de 3,7 Km.

Mais un photon ? Le photon a une énergie hv (v se lit "nu", lettre grecque). Il représente une quantité équivalente de matière m = hv/c2 grâce à laquelle on peut calculer son énergie d'extraction :

- somme de R à l'infini de GMm / r2 dr = GMhv / Rc2. L'énergie d'un photon réussistant à quitter l'astre est E' = hv(1- GM/Rc2) qui est inférieure à hv (phénomène de red shift gravitationnel). Donc si R < GM/c2 l'astre ne peut plus émettre de lumière : c'est un trou noir.


Les conditions de Planck

La dimension spatiale d'une particule (sa taille) est donnée par la longueur d'onde de Compton
Lc = h / mc . (On remarque que plus une particule est lourde, plus sa taille est petite !) Supposons que cette particule soit un trou noir : Alors cette longueur Lc devra être égale au rayon de schwartzchild, soit h/mc = GM/c2, ce qui donne mp = qui vaut 10^-5 grammes. C'est la masse de Planck. Il ne peut exister de particule plus lourde. Son rayon est alors donné par sa longueur de Compton, soit Lp = C'est la longueur de Planck qui vaut
1,6 10^-33 cm. Rien de plus petit ne peut exister dans l'univers : c'est la "maille élémentaire de l'espace".

Soit alors un photon de longueur d'onde L = c/v (v est sa fréquence) : son énergie est E= hc / L, sa masse équivalente est mphoton = E/c2 = h / (L c). Son rayon de schwartzchild est alors
Rs = Gmphoton / c2 = Gh / Lc3, qui égalera la longueur d'onde si L == Lp

Quand la longueur d'onde d'un photon égale son rayon de schwartzchild, il se met à tourner en rond comme un serpent qui se mord la queue et l'information ne peut plus circuler. A cette longueur est associé le temps Tp = Lp / c = 0,54 10^-43 secondes. C'est le temps de Planck, ou encore l'épaisseur du présent.


La super-relativité ou la théorie de jean-pierre Petit

Il est conseillé de lire le paragraphe sur la théorie de JPP que j'ai écrit.

On "rend leur liberté" à toutes les "constantes" de la physique. Par exemple G, constante de la gravitation, h, constante de Planck, c , vitesse de la lumière, m, masse du proton ou du neutron.

Dans l'équation de la relativité générale d'Einstein, la constanteest une constante absolue imposée par la structure quadridimensionnelle de l'univers (la justification serait trop longue pour tenir dans cette marge :-).
Donc G ~ c2   ('~' veut dire "varie comme").

On suppose que l'énergie mc2 se conserve au fil du temps, m étant la masse de la particule au repos.

On suppose que les galaxies, le système solaire, les trous noirs, les protons et les neutrons "grandissent" en même temps que l'univers, dont le périmètre est pris égal à 2pi R : écrivons que le rayon de schwartzchild du trou noir grandit comme R : Gm/c2 ~ R, et comme G/c2 =constante, on obtient m ~ R.

Comme par ailleurs mc2 = constante, Rc2 = constante: c'est la loi de variation de la vitesse de la lumière. On en déduit G ~ 1/R

Prenons maintenant deux étoiles de même masse m orbitant l'une autour de l'autre ou autour de leur centre de gravité commun selon une trajectoire circulaire de rayon r : la force centrifuge est mv2/R (v est la vitesse), l'attraction gravitationnelle mutuelle est Gm2 / 4r2. Si r varie comme R (le rayon de l'univers) , alors Gm2/R2 ~ mv2/R d'où V ~ R-1/2. Le rapport "beta" = v/c se conserve au fil du temps, tout comme l'énergie E =  L'extension spatiale du proton étant donnée par sa longueur d'onde de Compton h/mc ~ R, on a h ~ R3/2.

La résolution de l'équation d'Einstein, en supposant l'univers homogène et isotrope (métrique de Robertson-Walker) conduit à l'équation différentielle suivante :

2R"/R + R'2/R2 (2+béta2) + kc2 (1+ beta2) / R2 = 0 , avec (beta = v/c)

v = beta .c est la vitesse d'agitation des galaxies dans ce "fluide cosmologique". En cherchant une solution du type R = a tb, on voit que beta s'élimine et que la seule solution possible est avec k = -1
k est "l'indice de courbure", donc cette univers a une courbure négative. La solution de l'équation est alors R ~ t2/3. C'est la variation du rayon de l'univers avec le temps.

L'horizon cosmologique se définit par l'intégrale H = somme de 0 à t de c(t)dt, on trouve H = R(t). Cela signifie que l'homgénéité de l'univers se trouve justifiée à toute époque.

L'entropie devient S ~ Log t. Dans une description où l'entropie remplace la variable temps, la singularité initiale disparaît :

On peut se demander d'ailleurs s'il ne serait pas possible de trouver une substitution analogue pour les variables d'espace ?

Toutes les équations de la physique (boltzmann, schrödinger, Maxwell) sont invariantes par les transformations obtenues. De plus on trouve que le red shift est proportionnel à la distance (loi de Hubble).

Comment vérifier la théorie ?

Jusqu'à quelques milliards d'années -lumières les distances calculées pour les sources sont quasiment identiques aux distances issues du modèle standard. L'énergie des photons hv étant censée se conserver, comme toutes les énergies, et comme h~t , on a v ~ 1/t. Le red shift n'est pas la conséquence de l'effet doppler mais découle de lla dérive séculaire de la constante de Planck.

En 1988, Bartel et Miley (Nature, vol 373 may 1988) on montré que plus les quasars étaient loin, plus ils étaient petits. Ceci cadre avec la théorie, où les quasars "grandissent" avec l'univers lui-même.

La théorie de JPP n'est pas achevée : il reste à voir comment faire varier certaines constantes liées aux processus nucléaires. Pour le moment, elle ne contredit aucune observation et permet de régler les cinq paradoxes de la cosmologie "orthodoxe" :

Si les questions mathématiques liées à la cosmologie vous intéressent, allez donc voir mes recherches mathématiques personnelles !

> La suite : Relativité
< Page précédente : paradoxes

 

Commentaires (0) :

Page :



Ajouter un commentaire (pas besoin de s'enregistrer)

Pseudo :
Message :


image de protection
En cliquant sur le bouton "Envoyer" vous acceptez les conditions suivantes : Ne pas poster de message injurieux, obscène ou contraire à la loi, ni de liens vers de tels sites. Respecter la "netiquette", ne pas usurper le pseudo d'une autre personne, respecter les posts fait par les autres. L'auteur du site se réserve le droit de supprimer un ou plusieurs posts à tout moment. Merci !
Ah oui : le html genre <a href=...>, <b>b etc. ne fonctionne pas dans les commentaires. C'est voulu.
< Retour en haut de la page