Journal d'un terrien

Web log de Serge Boisse

On line depuis 1992 !

Recherche personnalisée

Commentaires successifs

Ce texte est très inspiré d'un article de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science, numéro de janvier 1986. Au départ, cela ressemble à un jeu de collégien, mais John Conway, mathématicien génial (créateur entre autre du jeu de la vie et de quelques théorèmes de limitation extraordinairement surprenants dans la droite ligne des travaux de Gödel), en a tiré tant de choses qu'on est en droit de se demander s'il s'agit bien d'un jeu...

Partons donc du texte numérique le plus simple qui soit :

1

Et demandez à un mathématicien ce qu'il voit là : il vous répondra "un 1", ou encore :

11

Demandez lui encore ce qu'il voit là : il répondra "deux 1" soit encore :

21

Et ainsi de suite:

1211
111221
312211
13112221
1113213211
...

Le big bang numérique, c'est cette suite de commentaire successifs sur le nombre 1, l'expansion infinie de cette suite. J. Conway et O. Atkins on démontré, en résolvant une équation de degré 71 que je vous invite à rechercher (!) , que le taux moyen d'expansion de la suite est de 1,30357726903...

La taille moyenne de l'univers augmente donc d'environ 30% à chaque étape. Conway a aussi démontré qu'il n'y a pas de cycle infini en dehors de "22", quel que soit le point de départ.

Mais l'analogie avec le monde réel va plus loin encore ; L'univers engendré par les commentaires sur UN peut se décomposer en éléments stables et instables, et il y a 92 éléments stables que J. Conway a baptisé avec le nom des 92 éléments stables de la classification de Mendeleiev. Les Transmutations des éléments numériques correspondent, mais ne sont pas tout à fait les mêmes que celles des éléments physiques.

Qu'est-ce qu'un élément ? certains nombres N sont une concaténation de deux nombres G et D qui, dans la suite des commentaires numériques, n'interféreront plus jamais. GD est une décomposition de N si pour tout entier n le n-ième commentaire de N est la juxtaposition des n-ièmes commentaires de G et de D.

Par exemple 1113213211 peut se décomposer en G=11132 et D=13211 car les commentaires successifs de G se termineront tous par 2, alors qu'aucun commentaire de D ne commencera par 2, en effet 13211 -> 11131211 -> 3113112211 -> 132113212221 dont le début est 13211, et donc les premiers chiffres se répètent de façon cyclique.

Les nombres qui ne peuvent pas être décomposés sont appelés les éléments. Attention : ce n'est pas parce qu'un élément apparaît dans un nombre que le nombre se décompose exactement à cet endroit, car il faut que les découpes soient bonnes.

Théorème de la coupure

Certaines nombres se décomposent en deux parties qui n'interfèrent plus ensemble dans la suite des commentaires : le théorème de la coupure indique tous le endroits où l'on peut faire de telles coupures :

  • Si le nombre a se termine par 2 et le nombre b commence par 131, 123, 131, 132, 111, 312, 313, 3112, 3113, 3221 ou 3223, alors ab peut être coupé en a et b
  • Si le nombre a se termine par un 1 ou un 3 et que b commence par 22121, 22123, 22131, 22132, 22111, 22312, 22313, 22321, 22323, 223112; 223113, 223221, ou 223223; alors le nombre ab peut être coupé en a et b.

  • En examinant ce qui se passe après 1, on voit que les 7 premiers commentaires sont des éléments instables (qui ne réapparaissent plus ensuite), et qu'il y a 92 éléments stables qui persistent indéfiniment. Les éléments stables suffisent toujours dans la suite du développement. Quand on connaît leur évolution, on peut décrire totalement l'évolution de la suite.

    Voici donc la liste des éléments :
     


    Élément
    ValeurTransmutation
    1H22H
    2He13112221133211322112211213322112Hf Pa H Ca Li
    3Li312211322212221121123222112He
    4Be1113122111312113221133211322112211213322112Ge Ca Li
    5B1321132122211322212221121123222112Be
    6C3113112211322112211213322112B
    7N111312212221121123222112C
    8O132112211213322112N
    9F31121123222112O
    10Ne111213322112F
    11Na123222112Ne
    12Mg3113322112Pm Na
    13Al1113222112Mg
    14Si1322112Al
    15P311311222112Ho Si
    16S1113122112P
    17Cl132112S
    18Ar3112Cl
    19K1112Ar
    20Ca12K
    21Sc3113112221133112Ho Pa H Ca Co
    22Ti11131221131112Sc
    23V13211312Ti
    24Cr31132V
    25Mn111311222112Cr Si
    26Fe13122112Mn
    27Co32112Fe
    28Ni11133112Zn Co
    29Cu13112Ni
    30Zn312Cu
    31Ga13221133122211332Eu Ca Ac H Ca Zn
    32Ge31131122211311122113222Ho Ga
    33As11131221131211322113322112Ge Na
    34Se13211321222113222112As
    35Br3113112211322112Se
    36Kr11131221222112Br
    37Rb1321122112Kr
    38Sr3112112Rb
    39Y1112133Sr U
    40Zr12322211331222113112211Y H Ca Tc
    41Nb1113122113322113111221131221Er Zr
    42Mo13211322211312113211Nb
    43Tc311322113212221Mo
    44Ru1322113312221131112211Eu Ca Tc
    45Rh311311222113111221131221Ho Ru
    46Pd111312211312113211Rh
    47Ag132113212221Pd
    48Cd311311221Ag
    49In11131221Cd
    50Sn13211In
    51Sb3112221Pm Sn
    52Te1322113312211Eu Ca Sb
    53I311311222113111221Ho Te
    54Xe11131221131211I
    55Cs13211321Xe
    56Ba311311Cs
    57La11131Ba
    58Ce1321133112La H Ca Co
    59Pr31131112Ce
    60Nd111312Pr
    61Pm132Nd
    62Sm311332Pm Ca Zn
    63Eu1113222Sm
    64Gd13221133112Eu Ca Go
    65Tb3113112221131112Ho Gd
    66Dy111312211312Tb
    67Ho1321132Dy
    68Er311311222Ho Pm
    69Tm11131221133112Er Ca Co
    70Yb1321131112Tm
    71Lu311312Yb
    72Hf11132Lu
    73Ta13112221133211322112211213322113Hf Pa H Ca W
    74W312211322212221121123222113Ta
    75Re111312211312113221133211322112211213322113Ge Ca W
    76Os1321132122211322212221121123222113Re
    77Ir3113112211322112211213322113Os
    78Pt111312212221121123222113Ir
    79Au132112211213322113Pt
    80Hg31121123222113Au
    81T1111213322113Hg
    82Pb123222113T1
    83Bi3113322113Pm Pb
    84Po1113222113Bi
    85At1322113Po
    86Rn311311222113Ho At
    87Fr1113122113Rn
    88Ra132113Fr
    89Ac3113Ra
    90Th1113Ac
    91Pa11Th
    92U3Pa

    L'évolution de l'univers à partir d'un certain moment n'est donc que la transformation des éléments stables les uns en les autres selon des règles immuables.

    On peut démontrer cela en vérifiant le tableau ci dessus et avec quelques raisonnements d'arithmétique (!). Ce théorème est le point de départ de la démonstration d'un autre théorème beaucoup plus compliqué (il faut utiliser des triangulations de matrices, calculs de valeurs propres...) dû à J. Conway, qui indique les propriétés statistiques de l'évolution de l'univers.

    Outre le fait que sa taille augmente exponentiellement d'un facteur 1,30357726903 déjà cité, ce théorème indique que pour un million d'atomes, il y aura en moyenne 91 790 atomes d'hydrogène, 27 d'arsenic, 102 d'Uranium, 3237 d'Hélium...

    Que se passe-t il lorsqu'on part d'un autre point de départ que "1" ? Quelques éléments supplémentaires "transuraniens" apparaissent, qui restent indéfiniment, mais leur taux d'abondance tend vers zéro, et donc seuls les 92 éléments restent présents avec des taux non négligeables ; l'expansion se fait encore exponentiellement avec le même facteur de croissance. La démonstration de ce dernier point est astronomiquement difficile et nécessite plusieurs dizaines de pages...

    Problèmes amusants

    Existe-t-il des suites numériques infinies qui lorsqu'on en fait le commentaire, sont égales à elle-mêmes ? Dans le cas fini '22' est la seule suite qui est son propre commentaire ; mais dans le cas infini ? Cette question, due à Bernard Germain-Bonne de l'université de Lille a une réponse négative.

    Par contre, il existe des suites de nombres infinis qui se commentent cycliquement :

    B Germain-Bonne a démontré que seuls de cycles de longueur 3 sont possibles, et qu'il y en a quatre en tout et pour tout. On les obtient par la méthode suivante :

    On par de l'élément Zn, égal à 312. On en calcule le commentaire à trois reprises, cela donne Cu puis Ni puis Zn Co = 31232112, ce qui prolonge le mot de départ ;

    On calcule encore le commentaire trois fois : cela donne Cu Fe, Puis Ni Mn, puis Zn Co Cr Si, soit 31232112311321322112 ce qui prolonge encore le mot de départ. etc...

    On obtient finalement un mot infini qui est le "commentaire du commentaire du commentaire de lui même".

    Le second cycle est obtenu de la même façon en partant de Ho ; Son début est Ho Gd Pm Ca Zn Ar Mn. Le troisième et quatrième cycle sont obtenus en faisant précéder les deux premiers de H = 22.

    Ces nombres infinis, qui sont exactement le commentaire du commentaire du commentaire d'eux mêmes ne sont pas périodiques (leurs décimales ne se répètent jamais dans le même ordre). Leurs décimales représentent donc des nombres irrationnels nouveaux et remarquables. Ils utilisent évidemment les 92 éléments de la chimie du monde numérique, dans les proportions calculées par J. Conway.

    Et Si...

    Bien sur, la structure de ces suites de commentaires est trop simple pour représenter notre univers. Mais supposons que l'on ajoute l'idée d'un commentaire enantiomorphe ou "en miroir", c'est à dire en lisant de la droite vers la gauche et non plus de la gauche vers la droite :

    En partant de 1 on obtient 11, puis 21, jusqu'ici sans surprise. Mais '21' peut se lire de droite a gauche : 1211 ou de la gauche vers la droite : 1112. A son tour, 1211 peut se lire 111221 ou 211211 et 1112 peut se lire 3112 ou 1231 ...

    On obtient donc non plus une suite de commentaires, mais un arbre binaire de commentaires. Certains de ces commentaires sont ils égaux à d'autres trouvés au niveau précédent ? (on aurait alors un graphe et non plus un arbre) : la question reste (au 16 octobre 97) ouverte. J'ai fait une recherche automatique jusqu'au niveau 12, mais ma station de travail ne fait "que" 233 Mhz et 64 Mo, je n'ai donc pas pu aller au delà... ;-)

    Ce qui est rigolo, c'est que l'orsqu'on suit une des branches de l'arbre, par exemple en commentant alternativement 'normalement' et 'en miroir', on tombe sur des nombres que l'on peut 'exécuter', c'est à dire que l'on peut écrire le nombre qui est commenté ou progresser dans le sens rétrochrone, et on tombe alors sur de nouveaux nombres, parfois déjà trouvés au niveau précédent, parfois non, parfois sur des impasses...

    L'idée d'énantiomorphie, couplée à celle de rétrochronie nous donne cette fois une structure complexe, non triviale, qui mérite d'être explorée. Elle n'est pas sans lien avec l'idée d'un univers jumeau rétrochrone et énantiomorphe avancée par A Sackarov et JP Petit...

    Ce document est en chantier. restez a l'écoute ! Bientôt la suite....

    Vous pouvez aussi jeter un oeil sur ma page Comment créer le monde

    > La suite : Le jeu de la création des graphes
    < page précédente : morphogenèse

    Journal d'un terrien

    Commentaires (1) :

    Page : [1] 

    juraguy
    Le 29/10/2017 à 16h36
    continuer vos calculs et autres theories !!! moi je retourne a la peche !!! ma vie cerebrale me suffit ;trop de calcul de ce genre vous transforme en zombie mithomane !pas etonnant que je sois le seul a poser ce commentaire ;bonne continuation


    Ajouter un commentaire (pas besoin de s'enregistrer)

    Pseudo :
    Message :


    image de protection
    En cliquant sur le bouton "Envoyer" vous acceptez les conditions suivantes : Ne pas poster de message injurieux, obscène ou contraire à la loi, ni de liens vers de tels sites. Respecter la "netiquette", ne pas usurper le pseudo d'une autre personne, respecter les posts faits par les autres. L'auteur du site se réserve le droit de supprimer un ou plusieurs posts à tout moment. Merci !
    Ah oui : le html genre <br>, <a href=...>, <b>b etc. ne fonctionne pas dans les commentaires. C'est voulu.
    < Retour en haut de la page