Auteur: Serge Boisse
Date: Le 26/03/2023 à 14:03
Type: web/MOC
Tags: maths,arithmétique,nombres
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La construction classique des nombres

La construction classique des nombres entiers

La définition axiomatique des entiers naturels, due à Giuseppe Peano, est usuellement décrite par les cinq axiomes suivants :

Le successeur s(0) de 0 est noté 1, celui de 1 est noté 2, et ainsi de suite.

Le principe de récurrence permet de s'assurer que si 0 possède une certaine propriété, et si pour tout élément de N qui possède cette propriété, son successeur la possède aussi, alors tous les éléments de N auront cette propriété.

A partir des ces axiomes on peut définir l'addition et la multiplication, puis tout le reste de l'arithmétique usuelle.

Par exemple pour l'addition on démontre qu'il existe une application
p: ℕ x ℕ->ℕ et une seule telle que pour tout p et q de N :

• p(p,1) = s(p)
• p(p, s(q)) = s(p(p,q))

La construction classique des nombres "réels"

Je ne m'étendrai pas ici sur cette construction, à partir des entiers, que l'on apprend au lycée (maintenant en prépa !) et que l'on peut trouver un peu partout.

Disons simplement que à partir de ℕ on construit successivement ℤ, l'ensemble des entiers relatifs, puis ℚ, l'ensemble des nombres fractionnaires, puis ℝ, l'ensemble des nombres "réels", qui est le seul corps commutatif archimédien complet, et enfin ℂ, l'ensemble des nombres de Chuquet-Cardan, dit aussi ensemble des nombres complexes, et ℍ, l'ensemble des quaternions (qui est un corps non commutatif).

L'ambiguïté des modèles de l'arithmétique

Notons qu'il y a une ambiguïté dans la définition de ℕ par les axiomes de Peano :
L'ensemble N des entiers "usuels" 0,1,2,3... vérifie bien ces axiomes, mais aussi par exemple l'ensemble des entiers pairs 0,2,4,6.. si on convient que la fonction "successeur" est l'application x -> x + 2 dans l'ensemble ℕ.

Les logiciens résument ceci en disant qu'en effet il existe plusieurs modèles de l'arithmétique. Ceci est à mon sens une faiblesse grave du système d'axiomes de Peano, qui ne définit pas d'une manière univoque ce que l'on entend par "ensemble des entiers" et par "nombre entier", même si tous les modèles sont (heureusement !) isomorphes entre eux.

Par exemple il existe dans la théorie des ensembles plusieurs modèles de la construction des entiers.
On peut ainsi poser :

• 0 = {} c'est à dire l'ensemble vide
• 1 = {0} = {{}} c'est à dire l'ensemble singleton dont l'unique élément est l'ensemble vide
• 2 = {1} = {{{}}}
• etc...

Mais aussi par exemple la construction de Von Neumann :

• 0 = {} avec donc card(0) = 0
• 1 = {0} = {{}} avec donc card(1) = 1
• 2 = {0,1} = {{},{{}}} avec card(2) = 2
• 3 = {0,1,2} avec card(3) = 3
• et ainsi de suite, on crée n+1 en ajoutant (par union ensembliste) card(n) à l'ensemble qui définit n

D'autres modèles sont possibles. Il y a ainsi une infinité de modèles qui respectent les axiomes de Peano. Est-ce que ça mérite encore de s'appeller "définition" ?
Encore plus grave : certains modèles ajoutent des propriétés supplémentaires aux "nombres" ainsi définis :

Par exemple Albert Skolem et Jacques Herbrand ont construit une arithmétique non standard qui possède toutes les propriétés de l'arithmétique plus quelques autres. Si ℕ est l'ensemble des entiers "usuels", et ℕ l'ensemble des entiers "non standards", ℕ contient tous les nombres de ℕ plus quelques nouveaux venus, dont ω (omega) qui se trouve "au delà" des entiers usuels et qui les dépasse en quelque sorte tous. Ces nouveaux venus sont les ordinaux transfinis.

Ici, je ne résiste pas au plaisir de vous donner un lien vers un papier très intéressant (et plein d'humour) sur les nombres surréels Ces "nombres", dûs au génie de John Conway,  sont en quelque sorte à la fois une extension des nombres réels et des nombre ordinaux. Je vous incite à y jeter un oeil. Attention, pour le lire et le comprendre vraiment, il faudra y passer du temps !

La non unicité de la définition des nombres entiers m'a poussé à chercher une Théorie des nombres basée sur des principes entièrement différents et non plus sur les axiomes de Peano...

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