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La construction classique des nombres

La construction classique des nombres entiers

La définition axiomatique des entiers naturels, due à Giuseppe Peano, est usuellement décrite par les cinq axiomes suivants :

il existe un ensemble noté N et une application N->N appellée sucesseur telle que :

  1. 0 est un entier naturel (donc l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide).
  2. Tout entier naturel n a un successeur, noté s(n) ou Sn.
  3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur (l'ensemble des naturels a un premier élément).
  4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
  5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments alors cet ensemble est égal à N (c'est le principe de récurrence).
Le successeur s(0) de 0 est noté 1, celui de 1 est noté 2, et ainsi de suite.

Le principe de récurrence permet de s'assurer que si 0 possède une certaine propriété, et si pour tout élément de N qui possède cette propriété, son successeur la possède aussi, alors tous les éléments de N auront cette propriété.

A partir des ces axiomes on peut définir l'addition et la multiplication, puis tout le reste de l'arithmétique usuelle.

Par exemple pour l'addition on démontre qu'il existe une application p: NxN->N et une seule telle que pour tout p et q de N :

preuve : voir http://junon.u-3mrs.fr/ms01w006/arith.pdf

La construction classique des nombres "réels"

Je ne m'étendrai pas ici sur cette construction, à partir des entiers, que l'on apprend au lycée et que l'on peut trouver un peu partout.

Disons simplement que à partir de N on construit successivement Z, l'ensemble des entiers relatifs, puis Q, l'ensemble des nombres fractionnaires, puis R, l'ensemble des nombres "réels", qui est le seul corps commutatif archimédien complet, et enfin C, l'ensemble des nombrers de Chuquet-Cardan, dit aussi ensemble des nombres complexes, et H, l'ensemble des quaternions (qui est un corps non commutatif).

L'ambiguïté des modèles de l'arithmétique

Notons qu'il y a une ambiguïté dans la définition de N par les axiomes de Peano :
L'ensemble N des entiers "usuels" 0,1,2,3... vérifie bien ces axiomes, mais aussi par exemple l'ensemble des entiers pairs 0,2,4,6.. si on convient que la fonction "successeur" est l'application x -> x + 2 dans l'ensemble N.

Les logiciens résument ceci en disant qu'en effet il existe plusieurs modèles de l'arithmétique. Ceci est à mon sens une faiblesse grave du système d'axiomes de Peano, qui ne définit pas d'une manière univoque ce que l'on entend par "ensemble des entiers" et par "nombre entier", même si tous les modèles sont (heureusement !) isomorphes entre eux.

Par exemple il existe dans la théorie des ensembles plusieurs modèles de la construction des entiers.
On peut ainsi poser :

Mais aussi par exemple la construction de Von Neumann :

D'autres modèles sont possibles. Il y a ainsi une infinité de modèles qui respectent les axiomes de Peano. Est-ce que ça mérite encore de s'appeller "définition" ?
Encore plus grave : certains modèles ajoutent des propriétés supplémentaires aux "nombres" ainsi définis :

Par exemple Albert Skolem et Jacques Herbrand ont construit une arithmétique non standard qui possède toutes les propriétés de l'arithmétique plus quelques autres. Si N est l'ensemble des entiers "usuels", et *N l'ensemble des entiers "non standards", *N contient tous les nombres de N plus quelques nouveaux venus, dont omega qui se trouve "au delà" des entiers usuels et qui les dépasse en quelque sorte tous. Ces nouveaux venus sont les ordinaux transfinis.

Ici, je ne résiste pas au plaisir de vous donner un lien vers un papier très intéressant (et plein d'humour) sur les nombres surréels Ces "nombres", dûs au génie de John Conway,  sont en quelque sorte à la fois une extension des nombres réels et des nombre ordinaux. Je vous incite à y jeter un oeil. Attention, pour le lire et le comprendre vraiment, il faudra y passer du temps !

La non unicité de la définition des nombres entiers m'a poussé à chercher une Théorie des nombres basée sur des principes entièrement différents et non plus sur les axiomes de Peano...


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Commentaires (7) :

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Serge Boisse
Le 16/11/2010 à 18h41
@Cool38 :

euh oui, tu as raison, c'est en prépa que j'ai appris ça, je croyais que c'était au lycée. C'est loin tout ça, j'étais en maths sup en 1979... Il faudrait peut-être que j'en parle sur ce site.
Cool38
Le 07/11/2010 à 14h21
J'ai passé mon bac C en 1975... et déjà à l'époque, on ne construisait pas les ensembles de nombres au lycée... mais en prépa !

Et cela n'est même plus fait actuellement en prépa...

Alors la remarque "Je ne m'étendrai pas ici sur cette construction, à partir des entiers, que l'on apprend au lycée" m'étonne beaucoup !

Cordialement.
Nini-Software
Le 19/10/2010 à 10h13
Bonjour. Je ne suis pas un grand spécialiste de la théorie des nombres, ni de la théorie des ensembles (ZF ou ZFC), mais mes travaux vous intéresseront sans doute. Ils portent sur la conjecture de Collatz, dont le "génie" de Conway essayait de prouver l'indécidabilité, sans toutefois y parvenir dans le cas du problème 3X+1 original. J'ai découvert récemment des structures algébriques (pour lesquelles l'axiomatique de Peano est largement suffisante) étroitement corrélées avec le problème de Collatz, plus exactement avec la fonction de Syracuse, dont mes résultats permettent d'établir l'expression générale de la nième itérée. Face à la difficulté de démontrer certains énoncés arithmétiques "élémentaires" (comme la conjecture 3X+1 ou la conjecture de Legendre) les "incroyants" se résignent, soit en cherchant des extensions transcendantes du problème (typiquement, concernant la conjecture 3X+1, les fonctions holomorphiques, et concernant la conjecture de Legendre, la fonction dzéta de Riemann), soit en se réfugiant dans les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Je pense cependant que le "Dieu des maths" (dont l'existence est bien sûr un axiome ...) a bien fait les choses, et que les défis doivent être relevés, avec de l'imagination, un grande dose de courage et de persévérance (voire d'obstination), et surtout, en ce qui concerne les problèmes d'arithmétique "élémentaire", un sens aigu de l'observation, les ordinateurs étant aux matheux ce que les accélérateurs de particules sont aux physiciens.

Bien à vous,

Nicolas VAILLANT

www.nini-software.fr
Crotte226
Le 11/12/2009 à 17h57
Bonjour , Je tenait a vous rappeller Que je m'appelle Crotte

Mes parents mon nommée comme ceci car il ont un peu des goût bizarre je tenait aussi a vous rappeller que je suis de sexe feminin Masculin enfet je suis une travestie .

0 est un entier naturel (donc l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide).

Tout entier naturel n a un successeur, noté s(n) ou Sn.

Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur (l'ensemble des naturels a un premier élément).

Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.

Voila votre site est bien mais vos enployez des mots trop difficiles a mon goût
naffouti
Le 29/09/2009 à 09h33
Bonjour monsieur merci pour votre aide



merci d'anace
Serge Boisse
Le 18/11/2008 à 17h17
Très juste. Il existe effet plusieurs modèles "standard" de l'arithmétique de Peano, et on peut aussi créer des modèles "non standard" en ajoutant des axiomes "non péaniens". J'ai corrigé l'erreur dans ma page.

J'aime bien votre référence au théorème de Goodstein. Pour ceux qui ne le connaissent pas, ce théorème comporte deux volets :

1) Il montre qu'en utilisant les ordinaux transfinis, on peut prouver la convergence d'une certaine suite d'entiers (la suite de Goodstein),

et 2) (la partie la plus difficile du thèorème), il démontre cette convergence ne peut être prouvée qu'en utilisant les ordinaux transfinis, lesquels ne sont pas décrits par les axiomes de Peano. En quelque sorte, le théorème de Goodstein montre que l'infini est nécessaire et que nous devons étudier les extensions non standards des entiers. je trouve cela fascinant. Un très beau thèorème.
Mistou26
Le 21/08/2008 à 15h08
L'ensemble des entiers pair n'est pas "non standard".

Seuls sont non standards le ensemble nons isomorphes à N.

Exemple: Axiomes de PEANO + négation du théorème de GOODSTEIN.

La non unicité de la définition des nombres entiers ne peut pas être endiguée: Ceci résulte du théorême de Gôdel.

Toutes formalisation suffisante des nombres entiers contient une proposition indécidable qui peut donc donner lieu à deux e extensions différentes dont l'une au moin est non standard.

gerard-froger@wanadoo.fr


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