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Les nombres surréels

Les nombres surréels sont une tentative pour créer tout l'univers des nombres (les entiers, les fractions, les réels...) à partir de rien, c'est à dire de l'ensemble vide. Mais cette tentative est bizarrement allée bien plus loin que ça et d'étrange nouveaux nombres sont apparus, qui sont infiniment grands ou infiniment petits, et même qui ont le pouvoir de se "coller", en nombre infini, à n'importe quel nombre réel, sans être pour autant des nombres rééls, mais tout en préservant un ordre total !

Comment aller plus loin que l'infini ? et même infiniment plus loin ?
Nés au départ d'un boutade, d'un jeu d'écriture dû au génial mathématicien contemporain John Conway, les nombre surréels ont intéressés les mathématiciens "sérieux" parce qu'ils permettent de formaliser les notions d'ordinaux transfinis, de cardinaux infinis, et d'infinitésimaux (vous savez, le dx que l'on trouve dans les équations différentielles et les intégrales).

La construction des nombres surréels n'est pas sans rappeler mes propres recherches sur la construction de l'univers à partir de rien. Chaque nombre surréel possède un "jour de naissance" qui est aussi, si l'on veut, sa complexité ou la longueur de sa description. Le nombre zéro, qui est le nombre surréel le plus simple, a été crée le "jour zéro", naturellement à partir de l'ensemble vide {} ou ∅. 

Tous les nombres surréels peuvent être définis comme des couples (G,D) où G et D sont des ensembles de nombres surréels qui doivent avoir été créés "avant".  Le premier nombre est 0=(∅,∅).  Les nombres 1 et -1 seront crées le "jour 1" et leur définition est 1=(∅,{0}) et -1=({0},∅). Mais attention, pour tout nombre surréel  n=(G,D), il faut que chaque nombre de G soit "plus petit" que tout nombre de D. L'intuition géniale de Conway, c'est d'avoir défini une notion de "plus petit" qui fonctionne non seulement pour 0 mais pour tout nombre surréel même si sa date de naissance est... supérieure à l'infini! Et Conway a aussi réussi à définir une addition et une multiplication qui "fonctionne" comme on l'attend, avec toutes les propriétés voulues. En d'autres termes on a un ensemble totalement ordonné, et on peut démontrer qu'il contient l'ensemble R des nombres "réels", mais aussi tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, et même des choses bizarres comme -ω√2 où ω est le premier ordinal transfini. Et pourtant, selon la théorie standard des ensembles (dite ZFC), les nombres surréels ne sont pas un ensemble, mais "une classe", une "chose plus grande que tout ensemble". Bigre ! Quelles sont donc cette relation d'ordre, cette addition et cette multiplication  ?

Mais plutôt que de poursuivre ces arides définitions, je vous engage à lire le merveilleux et très amusant fichier PDF que voici :
Les Nombres Surréels, où comment deux anciens étudiants découvrirent les mathématiques pures et vécurent heureux

Ensuite, si ça vous a plu, vous pourrez aller voir cette page.

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